(Vale: 2,0 ) Resolva as inequações:
\frac{x^{2}-x-12}{4 x-2} \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{x^{2}-x-12}{4x-2}\ge 0.
O conteúdo é inequações racionais. Para resolver, vamos identificar o domínio da expressão, fatorar o numerador, achar os pontos críticos (zeros do numerador e valor que anula o denominador) e fazer a análise de sinal.

Passo 2

Primeiro, encontramos o domínio: o denominador não pode ser zero, ou seja
4x-2\neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x\neq \frac12.
Em seguida, fatoramos o numerador:
x^{2}-x-12 = (x-4)(x+3).
Os zeros do numerador são x=4 e x=-3. Assim os pontos críticos são
x=-3,\quad x=\frac12,\quad x=4.

Passo 3

Agora fazemos a análise de sinal da fração em cada intervalo determinado pelos pontos críticos:
Intervalos: (-\infty,-3), (-3,\tfrac12), (\tfrac12,4) e (4,\infty).
1. Em (-\infty,-3), escolha x=-4:
numerator (x-4)(x+3)\big|_{x=-4} = (-8)(-1)>0,
denominador 4x-2\big|_{x=-4}=-18<0,
fração <0 \to não satisfaz.
2. Em (-3,\tfrac12), escolha x=0:
numerator (0-4)(0+3)=-12<0,
denominador 4\cdot0-2=-2<0,
fração >0 \to satisfaz.
3. Em (\tfrac12,4), escolha x=1:
numerator (1-4)(1+3)=-12<0,
denominador 4-2=2>0,
fração <0 \to não satisfaz.
4. Em (4,\infty), escolha x=5:
numerator (5-4)(5+3)=8>0,
denominador 20-2=18>0,
fração >0 \to satisfaz.
Além disso, nos pontos onde o numerador zera ( x=-3 ou x=4), a fração vale zero, que é permitido pela “ \ge0”. No ponto x=\tfrac12 a expressão não existe.

Passo 4

Juntando as partes onde a desigualdade é satisfeita e incluindo os zeros do numerador, obtemos
[-3,\tfrac12)\,\cup\,[4,\infty).

Resposta

\boxed{[-3,\tfrac12)\,\cup\,[4,\infty)}

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