(Vale: 2,0 ) Resolva as inequações: \frac{x^{2}-x-12}{4 x-2} \geq 0
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{x^{2}-x-12}{4x-2}\ge 0.
O conteúdo é inequações racionais. Para resolver, vamos identificar o domínio da expressão, fatorar o numerador, achar os pontos críticos (zeros do numerador e valor que anula o denominador) e fazer a análise de sinal.
Passo 2
Primeiro, encontramos o domínio: o denominador não pode ser zero, ou seja
Os zeros do numerador são x=4 e x=-3. Assim os pontos críticos são
x=-3,\quad x=\frac12,\quad x=4.
Passo 3
Agora fazemos a análise de sinal da fração em cada intervalo determinado pelos pontos críticos:
Intervalos: (-\infty,-3), (-3,\tfrac12), (\tfrac12,4) e (4,\infty).
1. Em (-\infty,-3), escolha x=-4:
numerator (x-4)(x+3)\big|_{x=-4} = (-8)(-1)>0,
denominador 4x-2\big|_{x=-4}=-18<0,
fração <0 \to não satisfaz.
Além disso, nos pontos onde o numerador zera (x=-3 ou x=4), a fração vale zero, que é permitido pela “\ge0”. No ponto x=\tfrac12 a expressão não existe.
Passo 4
Juntando as partes onde a desigualdade é satisfeita e incluindo os zeros do numerador, obtemos