(Vale 1,5) Encontre uma fórmula para o termo geral da sequência e determine a soa de seus termos.
Passo 1
Vamos analisar a sequência . Nosso objetivo é encontrar uma fórmula que nos dê o enésimo termo dessa sequência e também determinar a soma de todos os seus termos. Para isso, vamos precisar entender o padrão da sequência e aplicar conceitos de progressões geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o padrão da sequência. Observando os termos:
Termo 1:
Termo 2:
Termo 3:
Termo 4:
Termo 5:
Parece que há uma relação constante entre os termos consecutivos. Vamos calcular a razão entre um termo e o anterior para verificar se é uma progressão geométrica.
Passo 3
Calculando a razão :
Para o segundo termo:
Para o terceiro termo:
Podemos ver que a razão é sempre . Portanto, estamos lidando com uma progressão geométrica com razão .
Passo 4
Sabendo que estamos em uma progressão geométrica, podemos usar a fórmula do termo geral:
Onde:
é o enésimo termo,
é o primeiro termo,
é a razão,
é a posição do termo na sequência.
Substituindo os valores que temos:
Passo 5
Agora, vamos determinar a soma dos termos dessa sequência. Como a razão , a soma infinita de uma progressão geométrica é dada por: