(Vale 1,5) Encontre uma fórmula para o termo geral da sequência (-3,2,-43, 89,-1627, cdots) e determine a soa de seus termos.

Passo 1

Vamos analisar a sequência (-3,, 2,, -43,, 89,, -1627,, cdots). Nosso objetivo é encontrar uma fórmula que nos dê o enésimo termo dessa sequência e também determinar a soma de todos os seus termos. Para isso, vamos precisar entender o padrão da sequência e aplicar conceitos de progressões geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o padrão da sequência. Observando os termos:
  • Termo 1: -3
  • Termo 2: 2
  • Termo 3: -43
  • Termo 4: 89
  • Termo 5: -1627
Parece que há uma relação constante entre os termos consecutivos. Vamos calcular a razão entre um termo e o anterior para verificar se é uma progressão geométrica.

Passo 3

Calculando a razão r:
r = Termo seguinteTermo anterior
Para o segundo termo:
r = 2-3 = -23
Para o terceiro termo:
r = -432 = -23
Podemos ver que a razão é sempre -23. Portanto, estamos lidando com uma progressão geométrica com razão r = -23.

Passo 4

Sabendo que estamos em uma progressão geométrica, podemos usar a fórmula do termo geral:
an = a1 cdot r^n-1
Onde:
  • an é o enésimo termo,
  • a1 é o primeiro termo,
  • r é a razão,
  • n é a posição do termo na sequência.
Substituindo os valores que temos:
an = -3 cdot (-23)^n-1

Passo 5

Agora, vamos determinar a soma dos termos dessa sequência. Como a razão |r| = |,-23,| = 23 < 1, a soma infinita de uma progressão geométrica é dada por:
S = a11 - r
Substituindo os valores:
S = -31 - (-23) = -31 + 23 = -353 = -3 cdot 35 = -95

Resposta

A fórmula para o termo geral da sequência é an = -3 cdot (-23)^n-1 e a soma de seus termos é -95.

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