(vale \mathbf{2 , 0} pts) \square Vimos que para uma superfície S com parametrização \gamma(u, v), seu campo normal é dado por N(u, v)=\frac{\frac{\partial \gamma}{\partial u} \times \frac{\partial \gamma}{\partial v}}{\left|\frac{\partial \gamma}{\partial u} \times \frac{\partial \gamma}{\partial v}\right|}. Dito isso, considere a superfície tipo sela w=u^{2}-v^{2}. Calcule seu campo normal N(u, v).

Passo 1

O enunciado pede o campo normal de uma superfície tipo sela dada por
\displaystyle w(u,v)=u^{2}-v^{2}.
Para isso, usamos a parametrização
\gamma(u,v) = \bigl(u,\;v,\;u^{2}-v^{2}\bigr)
e a fórmula do vetor normal unitário
N(u,v) \;=\;\frac{\gamma_{u}\times\gamma_{v}}{\bigl\lvert \gamma_{u}\times\gamma_{v}\bigr\rvert}.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de \gamma:
\gamma_{u}(u,v) =\frac{\partial}{\partial u}\bigl(u,v,u^{2}-v^{2}\bigr) =(1,\,0,\,2u),
\gamma_{v}(u,v) =\frac{\partial}{\partial v}\bigl(u,v,u^{2}-v^{2}\bigr) =(0,\,1,\,-2v).

Passo 3

Agora fazemos o produto vetorial
\gamma_{u}\times\gamma_{v} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & 0 & 2u\\\\ 0 & 1 & -2v \end{vmatrix} =(-2u,\;2v,\;1).

Passo 4

O módulo desse vetor é
\bigl\lvert \gamma_{u}\times\gamma_{v}\bigr\rvert =\sqrt{(-2u)^{2}+(2v)^{2}+1^{2}} =\sqrt{4u^{2}+4v^{2}+1}.

Passo 5

Dividindo componente a componente, obtemos o normal unitário
N(u,v) =\frac{1}{\sqrt{4u^{2}+4v^{2}+1}}\bigl(-2u,\;2v,\;1\bigr).

Resposta

N(u,v) =\frac{(-2u,\;2v,\;1)}{\sqrt{4u^{2}+4v^{2}+1}}.

Exercícios relacionados