(vale 2,0 \mathrm{pts} ) \square Determine o divergente e o rotacional do campo
\vec{F}(x, y, z)=(x \sin y) \vec{i}+\left(y^{3}-z^{3}\right) \vec{j}+(y+x z) \vec{k},(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} .

Passo 1

O enunciado pede para calcular o divergente e o rotacional do campo
\vec{F}(x,y,z) = (x\sin y)\,\vec{i} + \bigl(y^3 - z^3\bigr)\,\vec{j} + (y + xz)\,\vec{k}.
Este é um exercício de cálculo vetorial em que usaremos as definições
\nabla\cdot\vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}
para o divergente e
\nabla \times \vec F = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}
para o rotacional.

Passo 2

Vamos primeiro as derivadas parciais que entram no divergente. Note que
\,F_x = x\sin y, F_y = y^3 - z^3 e F_z = y + xz. Portanto,
temos
\frac{\partial (x\sin y)}{\partial x} = \sin y,
\frac{\partial (y^3 - z^3)}{\partial y} = 3y^2
e
\frac{\partial (y + xz)}{\partial z} = x.

Passo 3

Somando essas três contribuições, o divergente fica
\nabla\cdot\vec F = \sin y + 3y^2 + x.

Passo 4

Agora vamos ao rotacional. A fórmula em determinante dá
\nabla \times \vec F = \vec{i}\,\bigl(\tfrac{\partial F_z}{\partial y} - \tfrac{\partial F_y}{\partial z}\bigr) - \vec{j}\,\bigl(\tfrac{\partial F_z}{\partial x} - \tfrac{\partial F_x}{\partial z}\bigr) + \vec{k}\,\bigl(\tfrac{\partial F_y}{\partial x} - \tfrac{\partial F_x}{\partial y}\bigr).

Passo 5

Calculando o coeficiente de \vec{i}:
\frac{\partial F_z}{\partial y} = \frac{\partial (y + xz)}{\partial y} = 1,
\frac{\partial F_y}{\partial z} = \frac{\partial (y^3 - z^3)}{\partial z} = -3z^2,
logo
(\nabla \times \vec F)_x = 1 - (-3z^2) = 1 + 3z^2.

Passo 6

Para o coeficiente de \vec{j}:
\frac{\partial F_z}{\partial x} = \frac{\partial (y + xz)}{\partial x} = z,
\frac{\partial F_x}{\partial z} = \frac{\partial (x\sin y)}{\partial z} = 0,
então
(\nabla \times \vec F)_y = z - 0 = z,
mas como na fórmula vem com menos, fica -z.

Passo 7

Para o coeficiente de \vec{k}:
\frac{\partial F_y}{\partial x} = \frac{\partial (y^3 - z^3)}{\partial x} = 0,
\frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{\partial (x\sin y)}{\partial y} = x\cos y,
portanto
(\nabla \times \vec F)_z = 0 - x\cos y = -\,x\cos y.

Passo 8

Reunindo todas as componentes, o rotacional é
\nabla \times \vec F = (1 + 3z^2)\,\vec{i} - z\,\vec{j} - x\cos y\,\vec{k}.

Resposta

O divergente é
\nabla\cdot\vec F = \sin y + 3y^2 + x
e o rotacional é
\nabla\times\vec F = (1 + 3z^2)\,\vec{i} - z\,\vec{j} - x\cos y\,\vec{k}.

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