(vale 1,5 pontos)
Calcule o fluxo do campo
através do hemisfério
, com o campo normal unitário no hemisfério apontando para fora.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo do campo
através do hemisfério
, com a norma unitária apontando para fora do volume. O que precisamos é aplicar a definição de fluxo sobre uma superfície paramétrica, usando que para a esfera unitária o vetor normal externo é simplesmente
, e depois calcular a integral de superfície, por exemplo em coordenadas esféricas.
Passo 2
Em cada ponto do hemisfério unitário, o vetor normal unitário externo é
Logo o produto escalar é
Para parametrizar usamos
com
,
, e o elemento de área na esfera unitária é
Passo 3
Substituindo na integral de fluxo, temos
Fazendo a mudança de variável
(logo
) obtemos
Portanto