(vale 1,5 pontos) \square Calcule o fluxo do campo
\vec{F}(u, v, w)=(v,-u, 2 w),(u, v, w) \in \mathbb{R}^{3}
através do hemisfério u^{2}+v^{2}+w^{2}=1, w \geq 0, com o campo normal unitário no hemisfério apontando para fora.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo
\vec{F}(u,v,w) = (v,\,-u,\,2w)
através do hemisfério u^2+v^2+w^2=1,\;w\ge0, com a norma unitária apontando para fora do volume. O que precisamos é aplicar a definição de fluxo sobre uma superfície paramétrica, usando que para a esfera unitária o vetor normal externo é simplesmente (u,v,w), e depois calcular a integral de superfície, por exemplo em coordenadas esféricas.

Passo 2

Em cada ponto do hemisfério unitário, o vetor normal unitário externo é
\vec{n} = (u,v,w).
Logo o produto escalar é
\vec{F}\cdot\vec{n} = v\,u + (-u)\,v + 2w\cdot w = 2w^2.
Para parametrizar usamos
u = \sin\varphi\cos\theta,\quad v = \sin\varphi\sin\theta,\quad w = \cos\varphi,
com \varphi\in[0,\pi/2], \theta\in[0,2\pi], e o elemento de área na esfera unitária é
dS = \sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Substituindo na integral de fluxo, temos
\Phi = \iint_{S} \vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2} 2\cos^2\varphi\;\sin\varphi \,d\varphi\,d\theta.
Fazendo a mudança de variável t=\cos\varphi (logo dt=-\sin\varphi\,d\varphi) obtemos
\int_{0}^{\pi/2}\cos^2\varphi\sin\varphi\,d\varphi = \int_{1}^{0} t^2(-dt) = \int_{0}^{1} t^2\,dt = \frac{1}{3}.
Portanto
\Phi = 2\cdot\bigl(2\pi\bigr)\cdot\frac{1}{3} = \frac{4\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{4\pi}{3}

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