(Vale: 1,0) Sejam as funções vetoriais f(t)=sen(t) i-j+k e g(t)=t i+3 j+t^2 k. Calcule (f times g)^prime(0).

Passo 1

O enunciado pede para as funções vetoriais
vec f(t)=sin(t),vec i - vec j + vec k
e
vec g(t)=t,vec i + 3,vec j + t^2,vec k
calcular (vec ftimes vec g)'(0). O conteúdo usado será a regra da derivada do produto vetorial.

Passo 2

A derivada do produto vetorial satisfaz
(vec ftimes vec g)'(t) = vec f'(t)times vec g(t) + vec f(t)times vec g'(t)
Vamos aplicar essa fórmula e depois avaliar em t=0.

Passo 3

Calculamos as derivadas componentes:
vec f'(t) = ddtl(sin(t)r),vec i = cos(t),vec i,
vec g'(t) = ddtl(tr),vec i + ddtl(t^2r),vec k = 1,vec i + 2t,vec k

Passo 4

Agora avaliamos em t=0:
vec f(0) = sin(0),vec i - vec j + vec k = -vec j + vec k,
vec g(0) = 0,vec i + 3,vec j + 0,vec k = 3,vec j,
vec f'(0) = cos(0),vec i = vec i,
vec g'(0) = 1,vec i + 2cdot 0,vec k = vec i

Passo 5

Aplicando a regra:
vec f'(0)times vec g(0) = vec i times (3,vec j) = 3,(vec i times vec j) = 3,vec k,
vec f(0)times vec g'(0) = (-vec j + vec k)times vec i = -vec jtimes vec i + vec ktimes vec i
Como vec jtimes vec i = -vec k e vec ktimes vec i = vec j, temos
-vec jtimes vec i = -(-vec k) = vec k, vec ktimes vec i = vec j,
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vec f(0)times vec g'(0) = vec k + vec j = vec j + vec k

Passo 6

Somando os dois resultados:
(vec ftimes vec g)'(0) = 3,vec k + (vec j + vec k) = vec j + 4,vec k

Resposta

(vec ftimes vec g)'(0) = vec j + 4,vec k

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