(Vale 6,0) Use os teste de convergência para determinar se as séries abaixo convergem ou divergem.
sumn=1^infty(-1)^n+1 n^2n^3+4, (Teste da série alternada);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar os testes de convergência para descobrir se a série sumn=1^infty(-1)^n+1 n^2n^3+4 converge ou diverge. O conteúdo aqui envolve séries alternadas, então vamos focar no Teste da Série Alternada para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a nossa série é alternada. Uma série é alternada quando os termos mudam de sinal, ou seja, têm um fator de (-1)^n ou similar. Nesse caso, temos (-1)^n+1, então sim, é uma série alternada.

Passo 3

Agora, para aplicar o Teste da Série Alternada, precisamos verificar dois pontos:
  1. Se os termos an = n^2n^3+4 são positivos, decrescentes e tendem a zero quando n vai para o infinito.
  2. Se esses dois critérios forem satisfeitos, a série converge.

Passo 4

Vamos começar verificando se an é positiva. Como tanto o numerador n^2 quanto o denominador n^3 + 4 são positivos para todo n >= 1, an é sempre positivo.

Passo 5

Em seguida, precisamos ver se an é decrescente. Para isso, observamos que conforme n aumenta, o denominador n^3 cresce mais rápido que o numerador n^2, fazendo an diminuir.

Passo 6

Por último, vamos verificar o limite de an quando n tende ao infinito:
limn to infty n^2n^3+4 = limn to infty 1n + 4n^2 = 0
Então, an tende a zero conforme n cresce.

Resposta

Como os termos da série são positivos, decrescentes e tendem a zero, pelo Teste da Série Alternada, a série sumn=1^infty(-1)^n+1 n^2n^3+4 converge.

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