(Vale 6,0) Use os teste de convergência para determinar se as séries abaixo convergem ou divergem.
, (Teste da série alternada);
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar os testes de convergência para descobrir se a série
converge ou diverge. O conteúdo aqui envolve séries alternadas, então vamos focar no Teste da Série Alternada para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a nossa série é alternada. Uma série é alternada quando os termos mudam de sinal, ou seja, têm um fator de
ou similar. Nesse caso, temos
, então sim, é uma série alternada.
Passo 3
Agora, para aplicar o Teste da Série Alternada, precisamos verificar dois pontos:
- Se os termos
são positivos, decrescentes e tendem a zero quando vai para o infinito. - Se esses dois critérios forem satisfeitos, a série converge.
Passo 4
Vamos começar verificando se
é positiva. Como tanto o numerador
quanto o denominador
são positivos para todo
,
é sempre positivo.
Passo 5
Em seguida, precisamos ver se
é decrescente. Para isso, observamos que conforme
aumenta, o denominador
cresce mais rápido que o numerador
, fazendo
diminuir.
Passo 6
Por último, vamos verificar o limite de
quando
tende ao infinito:
Então,
tende a zero conforme
cresce.
Resposta
Como os termos da série são positivos, decrescentes e tendem a zero, pelo Teste da Série Alternada, a série
converge.