(Valor 10.0 pts) Classificar as equações a seguir como homogênea ou exata e em seguida determinar a solução de cada uma delas.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a equação diferencial
como exata ou homogênea e, em seguida, encontrar sua solução geral. Vamos identificar
e
e usar teoria de eqs. homogêneas.
Passo 2
Escrevemos a equação na forma
onde
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Note que
e
são homogêneos de grau 2 (cada termo tem grau total em
igual a 2), logo a equação é homogênea.
Passo 3
Para equações homogêneas usamos a substituição
Substituindo em
temos
e
, então
Passo 4
Expandindo e simplificando:
Agrupando termos em
e
:
Dividindo por
(supondo
):
Passo 5
Integramos ambos os lados:
Fazendo decomposição em frações parciais:
logo
E do lado esquerdo vem
Passo 6
Igualando resultados:
Substituindo
e limpando valores absolutos em solução implícita, obtemos
com
constante arbitrária.
Resposta
A equação não é exata, mas é homogênea.
Solução geral (implícita):
Solução geral (implícita):
onde
é constante de integração.