(Valor 10.0 pts) Classificar as equações a seguir como homogênea ou exata e em seguida determinar a solução de cada uma delas.
2 x y d x-\left(x^{2}-y^{2}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar a equação diferencial
2xy\,dx - \bigl(x^2 - y^2\bigr)\,dy = 0
como exata ou homogênea e, em seguida, encontrar sua solução geral. Vamos identificar M(x,y) e N(x,y) e usar teoria de eqs. homogêneas.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0,
onde
M(x,y) = 2xy, \quad N(x,y) = -\bigl(x^2 - y^2\bigr).
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = 2x, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = -2x.
Como \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x, a equação não é exata. Note que M e N são homogêneos de grau 2 (cada termo tem grau total em x,y igual a 2), logo a equação é homogênea.

Passo 3

Para equações homogêneas usamos a substituição
y = v x \quad\Longrightarrow\quad dy = v\,dx + x\,dv.
Substituindo em
2xy\,dx - \bigl(x^2 - y^2\bigr)\,dy = 0,
temos y = vx e y^2 = v^2 x^2, então
2x(vx)\,dx - \bigl(x^2 - v^2x^2\bigr)\,(v\,dx + x\,dv) = 0.

Passo 4

Expandindo e simplificando:
2v x^2\,dx - x^2(1 - v^2)(v\,dx + x\,dv) = 0 \;\Longrightarrow\; 2v x^2\,dx - x^2(1 - v^2)v\,dx - x^3(1 - v^2)\,dv = 0.
Agrupando termos em dx e dv:
x^2\bigl(2v - v(1 - v^2)\bigr)\,dx = x^3(1 - v^2)\,dv \;\Longrightarrow\; x^2(v + v^3)\,dx = x^3(1 - v^2)\,dv.
Dividindo por x^2 (supondo x\neq0):
(v + v^3)\,dx = x(1 - v^2)\,dv \;\Longrightarrow\; \frac{dx}{x} = \frac{1 - v^2}{v(1 + v^2)}\,dv.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
\int \frac{dx}{x} = \int \frac{1 - v^2}{v(1 + v^2)}\,dv.
Fazendo decomposição em frações parciais:
\frac{1 - v^2}{v(1 + v^2)} = \frac{1}{v} - \frac{2v}{1 + v^2},
logo
\int \frac{dx}{x} = \int \frac{1}{v}\,dv - 2\int \frac{v}{1 + v^2}\,dv = \ln\lvert v\rvert - \ln\bigl(1 + v^2\bigr) + C.
E do lado esquerdo vem
\int \frac{dx}{x} = \ln\lvert x\rvert.

Passo 6

Igualando resultados:
\ln\lvert x\rvert = \ln\lvert v\rvert - \ln\bigl(1 + v^2\bigr) + C \;\Longrightarrow\; \ln\!\biggl(\frac{\lvert x\rvert\,(1 + v^2)}{\lvert v\rvert}\biggr) = C.
Substituindo v = y/x e limpando valores absolutos em solução implícita, obtemos
\frac{x^2 + y^2}{y} = K,
com K constante arbitrária.

Resposta

A equação não é exata, mas é homogênea.
Solução geral (implícita):
\boxed{\frac{x^2 + y^2}{y} = C,}
onde C é constante de integração.

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