(Valor 10) Resolva a questão diferencial de Cauchy-Euler dada por
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas:
- A incógnita é a função
. - A equação envolve
(derivada primeira) e (derivada segunda). - Não há termo com
sem derivada. - A equação está escrita para
(pois aparecem potências de multiplicando derivadas).
O objetivo é encontrar a solução geral
contendo duas constantes arbitrárias.
Passo 2
Motivação do método e ideia principal (explicação didática).
Quando os coeficientes das derivadas são potências inteiras de como aqui (
), é muito eficiente tentar uma solução do tipo
Quando os coeficientes das derivadas são potências inteiras de
onde
é um número (possivelmente complexo) a ser determinado. Essa escolha é natural porque potências de
têm derivadas que também são potências de
multiplicadas por constantes, o que costuma transformar a equação diferencial em uma equação algébrica para
. Vou mostrar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular as derivadas de
e substituir na equação.
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
Agora substituímos essas expressões em
:
Fatorando potências de
:
Como
não é identicamente zero para
, podemos dividir por
e obter uma equação para
:
Passo 4
Resolver a equação característica para
.
Simplificando:
Simplificando:
Portanto a equação característica é
Fatorando:
As raízes são
Passo 5
Escrever a solução geral usando as raízes obtidas.
Para uma equação de Euler-Cauchy de segunda ordem, se as raízes e
são reais e distintas, a solução geral é
Para uma equação de Euler-Cauchy de segunda ordem, se as raízes
onde
e
são constantes reais arbitrárias. Substituindo
e
obtemos
Passo 6
Método alternativo (redução de ordem) — para fixar a intuição e ver outra forma de chegar ao mesmo resultado.
Como não aparece sem derivada, dá para reduzir a ordem definindo
. Então
e a equação original vira
Como não aparece
Dividindo por
(para
):
Isto é uma equação linear de primeira ordem homogênea. Podemos resolver por separação:
Integrando:
onde
é constante. Voltando a
:
Renomeando constantes (
e
) recuperamos
mesma solução que antes. Esse caminho é útil quando a equação tem ausência do termo em
.
Passo 7
Observações finais e domínio.
- A solução geral é
com . - Ela vale para
e para (em cada intervalo a solução é bem definida), mas é ponto singular da equação original e a solução não é definida aí. - Dica prática para a prova: ao ver coeficientes
etc., tente primeiro a ansatz ; é rápido e direto. Se faltar o termo , reduzir a ordem (colocar ) costuma ser muito eficiente.