(Valor 10) Resolva a questão diferencial de Cauchy-Euler dada por x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x^{2}y''+3xy'=0.
Informações dadas:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A equação envolve y' (derivada primeira) e y'' (derivada segunda).
  • Não há termo com y sem derivada.
  • A equação está escrita para x\neq0 (pois aparecem potências de x multiplicando derivadas).
O objetivo é encontrar a solução geral y(x) contendo duas constantes arbitrárias.

Passo 2

Motivação do método e ideia principal (explicação didática).
Quando os coeficientes das derivadas são potências inteiras de x como aqui ( x^2,\;x), é muito eficiente tentar uma solução do tipo
y(x)=x^{m},
onde m é um número (possivelmente complexo) a ser determinado. Essa escolha é natural porque potências de x têm derivadas que também são potências de x multiplicadas por constantes, o que costuma transformar a equação diferencial em uma equação algébrica para m. Vou mostrar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular as derivadas de y=x^{m} e substituir na equação.
  • Primeira derivada:
y'(x)=m x^{m-1}.
  • Segunda derivada:
y''(x)=m(m-1)x^{m-2}.
Agora substituímos essas expressões em \,x^{2}y''+3xy'=0:
x^{2}\bigl(m(m-1)x^{m-2}\bigr)+3x\bigl(m x^{m-1}\bigr)=0.
Fatorando potências de x:
m(m-1)x^{m}+3m x^{m}=0.
Como x^{m} não é identicamente zero para x\neq0, podemos dividir por x^{m} e obter uma equação para m:
m(m-1)+3m=0.

Passo 4

Resolver a equação característica para m.
Simplificando:
m(m-1)+3m = m^{2}-m+3m = m^{2}+2m.
Portanto a equação característica é
m^{2}+2m=0.
Fatorando:
m(m+2)=0.
As raízes são
m_{1}=0,\qquad m_{2}=-2.

Passo 5

Escrever a solução geral usando as raízes obtidas.
Para uma equação de Euler-Cauchy de segunda ordem, se as raízes m_{1} e m_{2} são reais e distintas, a solução geral é
y(x)=C_{1}x^{m_{1}}+C_{2}x^{m_{2}},
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias. Substituindo m_{1}=0 e m_{2}=-2 obtemos
y(x)=C_{1}x^{0}+C_{2}x^{-2}=C_{1}+C_{2}x^{-2}.

Passo 6

Método alternativo (redução de ordem) — para fixar a intuição e ver outra forma de chegar ao mesmo resultado.
Como não aparece y sem derivada, dá para reduzir a ordem definindo z(x)=y'(x). Então z'(x)=y''(x) e a equação original vira
x^{2}z'+3xz=0.
Dividindo por x^{2} (para x\neq0):
z'+\frac{3}{x}z=0.
Isto é uma equação linear de primeira ordem homogênea. Podemos resolver por separação:
\frac{dz}{dx}=-\frac{3}{x}z \quad\Rightarrow\quad \frac{dz}{z}=-3\frac{dx}{x}.
Integrando:
\ln|z|=-3\ln|x|+C \quad\Rightarrow\quad z=C_{3}x^{-3},
onde C_{3} é constante. Voltando a y:
y' = C_{3}x^{-3}\quad\Rightarrow\quad y = C_{3}\int x^{-3}\,dx = C_{3}\left(-\tfrac{1}{2}x^{-2}\right)+C_{4}.
Renomeando constantes ( C_{1}=C_{4} e C_{2}=-\tfrac{1}{2}C_{3}) recuperamos
y(x)=C_{1}+C_{2}x^{-2},
mesma solução que antes. Esse caminho é útil quando a equação tem ausência do termo em y.

Passo 7

Observações finais e domínio.
  • A solução geral é y(x)=C_{1}+C_{2}x^{-2} com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.
  • Ela vale para x>0 e para x<0 (em cada intervalo a solução é bem definida), mas x=0 é ponto singular da equação original e a solução não é definida aí.
  • Dica prática para a prova: ao ver coeficientes x^{2},x etc., tente primeiro a ansatz y=x^{m}; é rápido e direto. Se faltar o termo y, reduzir a ordem (colocar z=y') costuma ser muito eficiente.

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}x^{-2}

Exercícios relacionados