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Em uma clínica nutricional, a eficiência de um suplemento alimentar é monitorada ao longo do tempo. A vida útil dos suplementos segue uma distribuição normal com média de 120 dias e desvio-padrão de 30 dias. Se, em uma remessa de 500 suplementos, a empresa deseja calcular o número de suplementos que precisam ser substituídos após 45 dias de uso, qual é a estimativa de reposição para esse período? Apresente todos os cálculos.
a) Aproximadamente 6 suplementos

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre a vida útil de suplementos alimentares numa clínica nutricional. A vida desses suplementos segue uma distribuição normal com média de 120 dias e desvio-padrão de 30 dias. A pergunta é: em uma remessa de 500 suplementos, quantos precisam ser substituídos após 45 dias de uso? Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal, calcular o z-score e descobrir a probabilidade de um suplemento precisar ser substituído. Depois, multiplicamos essa probabilidade pelo total de suplementos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar quantos desvios-padrão o valor de 45 dias está da média de 120 dias. Isso é feito calculando o z-score, que é dado pela fórmula:
z = X - musigma
Onde:
  • $ X $ é o valor que estamos analisando (45 dias),
  • $ \mu $ é a média (120 dias),
  • $ \sigma $ é o desvio-padrão (30 dias).

Passo 3

Vamos calcular o z-score:
z = 45 - 12030 = -7530 = -2,5
Então, o z-score é -2,5.

Passo 4

Agora, queremos encontrar a probabilidade de um suplemento precisar ser substituído após 45 dias, ou seja, $ P(X \leq 45) $. Usando a tabela da distribuição normal padrão (tabela Z), procuramos o valor correspondente a $ z = -2,5 $.
A probabilidade associada a $ z = -2,5 $ é aproximadamente 0,0062 (ou 0,62%).

Passo 5

Finalmente, para saber quantos suplementos de 500 precisam ser substituídos, multiplicamos essa probabilidade pelo total de suplementos:
Número de substituições = 500 times 0,0062 = 3,1 úçõ
Como não podemos ter uma fração de suplemento, arredondamos para o número inteiro mais próximo.

Resposta

A estimativa de reposição para esse período é de aproximadamente 3 suplementos.

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