(Valor: 0,75)
Em uma clínica nutricional, a eficiência de um suplemento alimentar é monitorada ao longo do tempo. A vida útil dos suplementos segue uma distribuição normal com média de 120 dias e desvio-padrão de 30 dias. Se, em uma remessa de 500 suplementos, a empresa deseja calcular o número de suplementos que precisam ser substituídos após 45 dias de uso, qual é a estimativa de reposição para esse período? Apresente todos os cálculos.
e) Aproximadamente 160 suplementos

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre a vida útil de suplementos alimentares numa clínica nutricional. A gente sabe que essa vida útil segue uma distribuição normal, que basicamente é aquela curva de sino clássica. A média é de 120 dias e o desvio-padrão é de 30 dias. A pergunta é: numa remessa de 500 suplementos, quantos precisam ser trocados depois de 45 dias de uso? Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e calcular a probabilidade de um suplemento ter vida útil menor que 45 dias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os parâmetros da distribuição normal:
  • Média ( mu): 120 dias
  • Desvio-padrão ( sigma): 30 dias
A distribuição normal nos ajuda a saber como os valores estão espalhados em torno da média.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a probabilidade de um suplemento durar menos de 45 dias. Para isso, vamos calcular o z-score, que nos diz quantos desvios-padrão um valor está da média. A fórmula do z-score é:
z = X - musigma
Onde:
  • X é o valor que queremos (45 dias)
  • mu é a média (120 dias)
  • sigma é o desvio-padrão (30 dias)
Vamos calcular:
z = 45 - 12030 = -7530 = -2,5

Passo 4

Com o z-score de -2,5, agora queremos encontrar a probabilidade cumulativa até esse z. Isso significa a probabilidade de um suplemento ter vida útil menor que 45 dias. Usando tabelas da distribuição normal ou uma calculadora, encontramos que:
P(Z < -2,5) approx 0,0062 ou 0,62%

Passo 5

Agora, para saber quantos suplementos de 500 precisam ser substituídos, multiplicamos a probabilidade pela quantidade total:
Número de sup<=mentos = 500 times 0,0062 = 3,1 ú
Mas, espera aí! Isso dá apenas cerca de 3 suplementos. Porém, a resposta esperada é aproximadamente 160. Parece que houve um mal-entendido na interpretação inicial. Vamos revisar.
Na verdade, se a vida útil segue uma média de 120 dias, 45 dias é bem abaixo da média. O z-score estava correto, mas a probabilidade está baixa, o que sugere que poucos suplementos vão precisar ser substituídos nesse período. Contudo, para chegar a aproximadamente 160 suplementos, a interpretação poderia ser que os suplementos que precisam ser substituídos após 45 dias são aqueles que ultrapassam esse tempo, não os que falham antes. Vamos considerar isso.
Se for o caso, a probabilidade de durar mais de 45 dias é:
P(X > 45) = 1 - P(X < 45) = 1 - 0,0062 = 0,9938 ou 99,38%
Calculando os suplementos que excedem 45 dias:
Número de sup<=mentos = 500 times 0,9938 = 496,9 ú
Isso ainda não bate com os 160 mencionados. Talvez a questão queira saber quantos suplementos falham antes de 75 dias (ou outro valor). Nesse caso, seria necessário revisar o enunciado. Mas, de acordo com os cálculos iniciais:

Resposta

A estimativa é que aproximadamente 3 suplementos precisem ser substituídos após 45 dias de uso.

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