Qual o valor da aproximação x2 da raiz 2 x^3-raizx-2=0 obtida pelo método de Newton (Método das Tangentes) partindo-se de x0=3,3?
a) 1,5739
b) 1,6477
c) 1,6105
d) 1,5380

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma aproximação da raiz da equação 2x^3 - raizx - 2 = 0 usando o Método de Newton, também conhecido como Método das Tangentes. Para isso, vamos precisar aplicar a fórmula do método começando com x0 = 3,3.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função e sua derivada. A função é:
f(x) = 2x^3 - raizx - 2
Para o Método de Newton, precisamos da derivada dessa função:
f'(x) = 6x^2 - 12x^-1/2
Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton para encontrar x1:
x1 = x0 - f(x0)f'(x0)
Calculando f(3,3):
f(3,3) = 2(3,3)^3 - raiz3,3 - 2 approx 71,874 - 1,8166 - 2 approx 68,0574
E a derivada em x0 = 3,3:
f'(3,3) = 6(3,3)^2 - 12(3,3)^-1/2 approx 65,34 - 0,2748 approx 65,065
Então,
x1 = 3,3 - 68,057465,065 approx 3,3 - 1,046 approx 2,254

Passo 3

Agora, usamos x1 = 2,254 para encontrar x2. Primeiro, calculamos f(2,254):
f(2,254) = 2(2,254)^3 - raiz2,254 - 2 approx 22,9026 - 1,5013 - 2 approx 19,4013
E a derivada em x1 = 2,254:
f'(2,254) = 6(2,254)^2 - 12(2,254)^-1/2 approx 30,486 - 0,333 approx 30,153
Aplicando a fórmula novamente:
x2 = 2,254 - 19,401330,153 approx 2,254 - 0,643 approx 1,611

Resposta

A aproximação x2 é 1,6105 (opção c).

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