(Valor: 2,5) Com o auxilio do Teorema de Green, calcular a integral de linha
ointC(3+2 x y-e^x y^3) d x+(x^2-3 y^2 e^x) d y,
onde C é uma curva qualquer fechada, suave do R^2 (isto é, de classe C^1 ) e orientada positivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial usando o Teorema de Green. O problema pede para calcular uma integral de linha ao longo de uma curva fechada e suave no plano. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green, que transforma integrais de linha em integrais duplas, facilitando nosso trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos permite converter uma integral de linha ao longo de uma curva fechada ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy em uma integral dupla sobre a região limitada por . A fórmula do teorema é:
Aqui, e são funções de e que fazem parte da integral de linha.

Passo 3

No nosso exercício, temos:
P = 3 + 2xy - e^x y^3 e Q = x^2 - 3 y^2 e^x
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar o Teorema de Green.

Passo 4

Primeiro, calculamos partial Qpartial x = partialpartial x (x^2 - 3 y^2 e^x) = 2x - 3 y^2 e^x :

Passo 5

Agora, calculamos partial Ppartial y = partialpartial y (3 + 2xy - e^x y^3) = 2x - 3 e^x y^2 :

Passo 6

Subtraímos partial Qpartial x - partial Ppartial y = (2x - 3 y^2 e^x) - (2x - 3 e^x y^2) = 0 de :

Passo 7

Agora, aplicando o Teorema de Green, temos:
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD 0 , dx,dy = 0

Resposta

A integral de linha dada é igual a zero:
ointC(3+2 x y-e^x y^3) d x+(x^2-3 y^2 e^x) d y = 0

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