(Valor: 2,5) Com o auxilio do Teorema de Green, calcular a integral de linha
onde
é uma curva qualquer fechada, suave do
(isto é, de classe
) e orientada positivamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial usando o Teorema de Green. O problema pede para calcular uma integral de linha ao longo de uma curva fechada e suave no plano. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green, que transforma integrais de linha em integrais duplas, facilitando nosso trabalho.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele nos permite converter uma integral de linha ao longo de uma curva fechada
em uma integral dupla sobre a região
limitada por
. A fórmula do teorema é:
Aqui,
e
são funções de
e
que fazem parte da integral de linha.
Passo 3
No nosso exercício, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar o Teorema de Green.
Passo 4
Primeiro, calculamos
:
Passo 5
Agora, calculamos
:
Passo 6
Subtraímos
de
:
Passo 7
Agora, aplicando o Teorema de Green, temos:
Resposta
A integral de linha dada é igual a zero: