(Valor: 2,5) Seja C o arco de parábola de equação y=x^2, do ponto (0,0) a (3,9). Calcule
integralC(3 raizy+5 x) d s

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha ao longo do arco da parábola , do ponto até . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de integrais de linha, que são usadas para somar valores ao longo de uma curva. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva, calcular a derivada da parametrização, encontrar a expressão para (o elemento de comprimento ao longo da curva) e então substituir tudo na integral dada.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva r(x) = (x, x^2) . Como a parábola está definida por , podemos usar como parâmetro. Assim, a parametrização fica:
onde varia de 0 a 3.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da parametrização em relação a drdx = (1, 2x) :
Essa derivada nos ajuda a calcular , que é o elemento de comprimento da curva.

Passo 4

Calculamos ds = | drdx | dx = raiz1^2 + (2x)^2 , dx = raiz1 + 4x^2 , dx utilizando a norma da derivada da parametrização:
ds = raiz1 + 4x^2 , dx
Então, temos:

Passo 5

Substituímos integralC (3 raizy + 5x) ds = integral0^3 (3 raizx^2 + 5x) raiz1 + 4x^2 , dx e integral0^3 (3x + 5x) raiz1 + 4x^2 , dx = integral0^3 8x raiz1 + 4x^2 , dx na integral original:
Simplificando para . Como varia de 0 a 3, podemos escrever . Então:

Passo 6

Vamos resolver a integral integral raizu , du por substituição. Seja 23 u^3/2 + C , então 23 (1 + 4x^2)^3/2 + C . A integral se transforma em:
Integrando, temos:
Substituindo de volta :

Passo 7

Aplicamos os limites de integração de 0 a 3:
23 (1 + 4x^2)^3/2 |0^3 = 23 [ (1 + 4 cdot 9)^3/2 - (1 + 0)^3/2 ] = 23 [ (37)^3/2 - 1 ]
Calculando 37^3/2 = 37 raiz37 approx 37 times 6,0827 approx 225,06 :
23 (225,06 - 1) = 23 times 224,06 approx 149,37
Portanto:

Resposta

O valor da integral é aproximadamente .

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