1-(Valor de cada item ; 0,7 pontos) Resolva as integrais abaixo.
\int\left(\frac{\sqrt{3}}{x}-\operatorname{sen} x\right) d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral
\int\left(\frac{\sqrt{3}}{x}-\operatorname{sen} x\right)\,dx.
Informações dadas e observações úteis: a integranda é a soma de dois termos, \dfrac{\sqrt{3}}{x} e -\operatorname{sen} x. Note que x\neq 0 para o termo \dfrac{1}{x}. Também reconhecemos que \operatorname{sen} x é a função seno (em português).

Passo 2

Propriedade básica que vamos usar: a integral é linear, isto é, para funções f e g e constante a vale
\int (f(x)+g(x))\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx
e
\int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx.
Aplicando isso ao nosso caso, separamos a integral em duas:
\int\left(\frac{\sqrt{3}}{x}-\operatorname{sen} x\right)\,dx =\int\frac{\sqrt{3}}{x}\,dx-\int\operatorname{sen} x\,dx.

Passo 3

Calcular a primeira integral \int\frac{\sqrt{3}}{x}\,dx.
Tiramos a constante \sqrt{3} para fora da integral:
\int\frac{\sqrt{3}}{x}\,dx=\sqrt{3}\int\frac{1}{x}\,dx.
Fórmula importante: \dfrac{d}{dx}\big(\ln|x|\big)=\dfrac{1}{x} para x\neq 0. Assim,
\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C.
Portanto
\int\frac{\sqrt{3}}{x}\,dx=\sqrt{3}\ln|x|.

Passo 4

Calcular a segunda integral \int\operatorname{sen} x\,dx.
Conhecimento básico: a primitiva da função seno é o negativo do cosseno, porque
\frac{d}{dx}\big(\cos x\big)=-\operatorname{sen} x.
Logo
\int\operatorname{sen} x\,dx=-\cos x.
Como na nossa integral temos um sinal negativo em frente a \operatorname{sen} x, obtemos
-\int\operatorname{sen} x\,dx = -(-\cos x)=\cos x.

Passo 5

Juntando os resultados das duas integrais e incluindo a constante de integração C, a primitiva da integranda é
\sqrt{3}\ln|x|+\cos x + C.

Passo 6

Verificação rápida (bom hábito na prova): derivando a resposta deve-se voltar à integranda. De fato,
\frac{d}{dx}\big(\sqrt{3}\ln|x|+\cos x + C\big)=\sqrt{3}\cdot\frac{1}{x}-\operatorname{sen} x,
que é exatamente a integranda. Tudo conferido!

Resposta

\sqrt{3}\ln|x|+\cos x+C

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