(Valor 1,5) Calcule as derivadas parciais indicadas:
f(x, y)=x^{2} y e^{x y} f_{x}(3,1) e f_{y}(3,1)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}y\,e^{xy} e pede dois valores num ponto específico:
  • Calcular \,f_{x}(3,1)\, (derivada parcial de f em relação a x no ponto (3,1)).
  • Calcular \,f_{y}(3,1)\, (derivada parcial de f em relação a y no ponto (3,1)).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x,y)=x^{2}y\,e^{xy}.
  • O ponto onde devemos avaliar as derivadas é (x,y)=(3,1).

Passo 2

O que é derivada parcial?
  • A derivada parcial de f em relação a x, denotada \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y), mede a variação de f quando x muda e y fica fixo. Formalmente:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
  • Analogamente, a derivada parcial em relação a y é:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.
Na prática, para funções que são combinação de produtos e composições (como aqui), usamos regras de derivação: regra do produto e regra da cadeia, tratando a outra variável como constante.

Passo 3

Aplicando isso a \,f(x,y)=x^{2}y\,e^{xy} para obter \,f_{x}(x,y)\,.
Vamos ver f como produto de duas funções de x (com y fixo):
u(x)=x^{2}y,\qquad v(x)=e^{xy}.
Regra do produto: \dfrac{d}{dx}(u v)=u'v+uv'.
Agora calculemos u' e v' (derivadas em relação a x, com y constante).
  • Derivada de u: como u(x)=x^{2}y e y é constante,
u'(x)=2x y.
  • Derivada de v: v(x)=e^{xy}. Usamos a regra da cadeia: a derivada de e^{g(x)} é g'(x)e^{g(x)}. Aqui g(x)=xy, portanto g'(x)=y. Assim
v'(x)=y\,e^{xy}.
Agora aplicando a regra do produto:
f_{x}(x,y)=u'v+uv'=(2x y)\,e^{xy} + (x^{2}y)\,(y\,e^{xy}).
Fatorando e^{xy} e y se quisermos:
f_{x}(x,y)=e^{xy}\big(2x y + x^{2}y^{2}\big)=x y\,e^{xy}\big(2 + x y\big).

Passo 4

Agora avaliamos em (x,y)=(3,1). Substituindo x=3 e y=1 na forma fatorada:
f_{x}(3,1)=3\cdot1\;e^{3\cdot1}\big(2+3\cdot1\big)=3e^{3}(2+3)=3e^{3}\cdot5=15e^{3}.

Passo 5

Agora calculamos \,f_{y}(x,y). Novamente vemos f como produto, mas derivamos em relação a y (tratar x como constante):
u(y)=x^{2}y,\qquad v(y)=e^{xy}.
Regra do produto com derivadas em relação a y:
  • Derivada de u em relação a y: u'(y)=x^{2} (pois x^{2} é constante).
  • Derivada de v em relação a y: por cadeia, derivada de e^{xy} é x\,e^{xy} (pois d(xy)/dy=x).
Aplicando a regra do produto:
f_{y}(x,y)=u'v+uv' = x^{2}\,e^{xy} + (x^{2}y)\,(x\,e^{xy}).
Fatorando:
f_{y}(x,y)=e^{xy}\big(x^{2} + x^{3}y\big)=x^{2}e^{xy}\big(1 + x y\big).

Passo 6

Avaliar em (x,y)=(3,1):
f_{y}(3,1)=3^{2}e^{3\cdot1}\big(1+3\cdot1\big)=9e^{3}(1+3)=9e^{3}\cdot4=36e^{3}.

Passo 7

Pequeno resumo e dica para a prova: ao derivar parcialmente trate a outra variável como constante; use sempre regra do produto quando ver produtos e regra da cadeia quando houver e^{(\cdot)} ou outras composições. Se puder, factorize para simplificar a avaliação num ponto.

Resposta

f_{x}(3,1)=15e^{3}
f_{y}(3,1)=36e^{3}

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