(Valor 1,5) Calcule as derivadas parciais indicadas:
e
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede dois valores num ponto específico:
- Calcular
(derivada parcial de em relação a no ponto ). - Calcular
(derivada parcial de em relação a no ponto ).
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O ponto onde devemos avaliar as derivadas é
.
Passo 2
O que é derivada parcial?
- A derivada parcial de
em relação a , denotada , mede a variação de quando muda e fica fixo. Formalmente:
- Analogamente, a derivada parcial em relação a
é:
Na prática, para funções que são combinação de produtos e composições (como aqui), usamos regras de derivação: regra do produto e regra da cadeia, tratando a outra variável como constante.
Passo 3
Aplicando isso a
para obter
.
Vamos ver como produto de duas funções de
(com
fixo):
Vamos ver
Regra do produto:
.
Agora calculemos e
(derivadas em relação a
, com
constante).
Agora calculemos
- Derivada de
: como e é constante,
- Derivada de
: . Usamos a regra da cadeia: a derivada de é . Aqui , portanto . Assim
Agora aplicando a regra do produto:
Fatorando
e
se quisermos:
Passo 4
Agora avaliamos em
. Substituindo
e
na forma fatorada:
Passo 5
Agora calculamos
. Novamente vemos
como produto, mas derivamos em relação a
(tratar
como constante):
Regra do produto com derivadas em relação a
:
- Derivada de
em relação a : (pois é constante). - Derivada de
em relação a : por cadeia, derivada de é (pois ).
Aplicando a regra do produto:
Fatorando:
Passo 6
Avaliar em
:
Passo 7
Pequeno resumo e dica para a prova: ao derivar parcialmente trate a outra variável como constante; use sempre regra do produto quando ver produtos e regra da cadeia quando houver
ou outras composições. Se puder, factorize para simplificar a avaliação num ponto.