(valor 1,0 ) Derive
F(x)=integralx^2^e^5 arctg^10(3 t+1) d t

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
F(x)=integralx^2^e^5arctg^10(3t+1),dt
Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia para resolver.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se
G(x)=integrala^u(x)f(t),dt
então
G'(x)=fl(u(x)r),u'(x)
E analogamente, se
H(x)=integralu(x)^bf(t),dt
então
H'(x)=-,fl(u(x)r),u'(x)

Passo 3

No nosso caso temos
u(x)=x^2, b=e^5, f(t)=arctg^10(3t+1)
Portanto
F'(x)=-,fl(x^2r),ddxl(x^2r)

Passo 4

Calculando ddx(x^2)=2x e substituindo em F'(x) obtemos
F'(x)=-,arctg^10l(3x^2+1r)cdot 2x =-2x,arctg^10(3x^2+1)

Resposta

F'(x)=-2x,arctg^10(3x^2+1)

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