(Valor: 2,5 ) Desenhe as curvas de nível C_{k} da função
\begin{array}{rccc} f: & \mathbb{R}^{2} & \rightarrow & \mathbb{R} \\\ & (x, y) & \mapsto & 3 x^{2}+9 y^{2} \end{array}
para k \in\{0,9,27\}.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar as curvas de nível
\displaystyle C_{k} = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : f(x,y)=k\}
da função
f(x,y)=3x^2+9y^2
para k\in\{0,9,27\}.
O conteúdo aqui é reconhecer que cada curva de nível é dada pela equação
3x^2+9y^2=k,
que define, para k>0, uma elipse no plano (x,y).

Passo 2

Escrevemos a equação geral de C_k:
3x^2+9y^2 = k.
Dividindo ambos os lados por k (para k>0) obtemos
\frac{x^2}{k/3} + \frac{y^2}{k/9} = 1.
Isto mostra que C_k é uma elipse com semieixo maior \sqrt{k/3} em x e semieixo menor \sqrt{k/9} em y.

Passo 3

Para k=0 a equação vira
3x^2+9y^2=0\quad\Longrightarrow\quad x^2=0,\;y^2=0,
ou seja, C_0 é o ponto (0,0).

Passo 4

Para k=9 temos
3x^2+9y^2 = 9 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^2}{9/3} + \frac{y^2}{9/9} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^2}{3} + y^2 = 1.
Esta elipse intercepta o eixo x em x=\pm\sqrt{3} e o eixo y em y=\pm1.

Passo 5

Para k=27 temos
3x^2+9y^2 = 27 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^2}{27/3} + \frac{y^2}{27/9} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{3} = 1.
Esta elipse intercepta o eixo x em x=\pm3 e o eixo y em y=\pm\sqrt{3}.

Resposta

As curvas de nível são:
(a) Para k=0: apenas o ponto (0,0).
(b) Para k=9: elipse \displaystyle \frac{x^2}{3}+y^2=1, com semieixos \sqrt{3} em x e 1 em y.
(c) Para k=27: elipse \displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{3}=1, com semieixos 3 em x e \sqrt{3} em y.

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