4- (Valor: 0,5 ) Um garoto chega a uma sorveteria, que oferece 7 sabores, para comprar um sorvete de três bolas. De quantas maneiras ele pode fazer isso, caso deseje:
a) escolher os três sabores distintos;
b) escolher dois sabores distintos;
c) escolher de qualquer maneira.

Passo 1

O enunciado diz que há 7 sabores de sorvete e o garoto vai escolher 3 bolas, desprezando a ordem em que elas aparecem no copo. Isso cai em combinatória de escolha de objetos quando:
– não permitimos repetições (parte a),
– permitimos repetições mas restringimos a exatamente dois sabores (parte b),
– e permitimos repetições livremente (parte c).

Passo 2

Para a parte (a), queremos as 3 bolas com sabores todos distintos. É o problema clássico de combinação sem repetição, cujo número de escolhas é
\binom{7}{3}
Que vale
\binom{7}{3}=\frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}=35.

Passo 3

Na parte (b), o garoto quer exatamente dois sabores distintos: um deles aparece em duas bolas e o outro em uma bola. Primeiro escolhemos qual sabor aparece duas vezes ( \binom{7}{1}=7 jeitos) e depois escolhemos o sabor da bola única entre os 6 restantes ( \binom{6}{1}=6 jeitos). Assim, o total é
7\times6=42.

Passo 4

Na parte (c), permitimos qualquer combinação de sabores em 3 bolas (ou seja, combinações com repetição). A fórmula geral para escolher r itens de n tipos com repetição é
\binom{n + r -1}{r}.
Aqui n=7 e r=3, logo
\binom{7+3-1}{3}=\binom{9}{3}=\frac{9\cdot8\cdot7}{3\cdot2\cdot1}=84.

Resposta

a) 35
b) 42
c) 84

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