6- (Valor: 0,5) Quantos números com sete algarismos têm 3 algarismos pares e 4 ímpares?

Passo 1

O enunciado pede a quantidade de números de sete dígitos (ou seja, de \,10^6 a 10^7-1) que têm exatamente 3 algarismos pares e 4 ímpares. O conteúdo aqui é contagem de casos via combinações e princípio multiplicativo, cuidando do fato de que o primeiro dígito não pode ser zero.

Passo 2

Identificamos que há 5 dígitos pares 0,2,4,6,8 e 5 dígitos ímpares 1,3,5,7,9. Como o primeiro dígito não pode ser zero, se ele for par temos apenas 4 escolhas para ele; se for ímpar, temos as 5 escolhas normais.

Passo 3

Vamos separar em dois casos:
  • Caso A: primeiro dígito é par.
  • Caso B: primeiro dígito é ímpar.

Passo 4

Caso A – primeiro dígito par:
  1. Escolhemos 2 posições pares entre as 6 restantes: \binom{6}{2} maneiras.
  2. Para o primeiro dígito temos 4 opções 2,4,6,8.
  3. Nas 2 posições pares escolhidas há 5^2 distribuições de algarismos pares (pois agora pode entrar zero).
  4. Nas 4 posições ímpares restantes há 5^4 distribuições de algarismos ímpares.
    Portanto
N_A = \binom{6}{2}\times 4 \times 5^2 \times 5^4.

Passo 5

Caso B – primeiro dígito ímpar:
  1. Escolhemos 3 posições ímpares entre as 6 restantes (além do primeiro): \binom{6}{3} maneiras.
  2. Para o primeiro dígito temos 5 opções ímpares.
  3. Nas 3 posições ímpares escolhidas há 5^3 distribuições.
  4. Nas 3 posições restantes (pares) há 5^3 distribuições de algarismos pares (agora incluindo zero).
    Portanto
N_B = \binom{6}{3}\times 5 \times 5^3 \times 5^3.

Passo 6

Bastam somar os dois casos:
N = N_A + N_B = \binom{6}{2}\,4\,5^6 \;+\;\binom{6}{3}\,5\,5^6 = \bigl(15\cdot4 + 20\cdot5\bigr)\,5^6 = 160\cdot 5^6 = 2\,500\,000.

Resposta

2\,500\,000

Exercícios relacionados