6- (Valor: 0,5) Quantos números com sete algarismos têm 3 algarismos pares e 4 ímpares?
Passo 1
O enunciado pede a quantidade de números de sete dígitos (ou seja, de
a
) que têm exatamente 3 algarismos pares e 4 ímpares. O conteúdo aqui é contagem de casos via combinações e princípio multiplicativo, cuidando do fato de que o primeiro dígito não pode ser zero.
Passo 2
Identificamos que há 5 dígitos pares
e 5 dígitos ímpares
. Como o primeiro dígito não pode ser zero, se ele for par temos apenas 4 escolhas para ele; se for ímpar, temos as 5 escolhas normais.
Passo 3
Vamos separar em dois casos:
- Caso A: primeiro dígito é par.
- Caso B: primeiro dígito é ímpar.
Passo 4
Caso A – primeiro dígito par:
- Escolhemos 2 posições pares entre as 6 restantes:
maneiras. - Para o primeiro dígito temos 4 opções
. - Nas 2 posições pares escolhidas há
distribuições de algarismos pares (pois agora pode entrar zero). - Nas 4 posições ímpares restantes há
distribuições de algarismos ímpares.
Portanto
Passo 5
Caso B – primeiro dígito ímpar:
- Escolhemos 3 posições ímpares entre as 6 restantes (além do primeiro):
maneiras. - Para o primeiro dígito temos 5 opções ímpares.
- Nas 3 posições ímpares escolhidas há
distribuições. - Nas 3 posições restantes (pares) há
distribuições de algarismos pares (agora incluindo zero).
Portanto
Passo 6
Bastam somar os dois casos: