O valor de \left[4^{7} .4^{10} .4\right]^{2}:\left(4^{5}\right)^{7} é:
a) 16
b) 8
c) 6
d) 4
e) 2

Passo 1

O enunciado pede o valor da expressão
\left[4^{7}\cdot 4^{10}\cdot 4\right]^{2} : \left(4^{5}\right)^{7}.
Informações dadas:
  • Há multiplicação de potências com mesma base 4: 4^{7}, 4^{10} e 4.
  • Essa multiplicação está dentro de colchetes e depois elevada ao quadrado: [\cdot]^{2}.
  • O denominador é \left(4^{5}\right)^{7}.
  • A pergunta é escolher a alternativa correta entre: a) 16; b) 8; c) 6; d) 4; e) 2.

Passo 2

Regra usada 1 (produto de potências de mesma base): para quaisquer números reais a (não nulo) e inteiros m,n vale
a^{m}\cdot a^{n} = a^{m+n}.
Por que isso é verdade? Porque a^{m} significa multiplicar a por si mesmo m vezes e a^{n} é multiplicar a por si mesmo n vezes; juntando as multiplicações temos m+n fatores a. Exemplo simples: 2^{3}\cdot 2^{2} = 8\cdot 4 = 32 e pela regra 2^{3+2}=2^{5}=32.

Passo 3

Aplicando a regra do passo anterior ao produto dentro dos colchetes:
4^{7}\cdot 4^{10}\cdot 4 = 4^{7+10+1} = 4^{18}.
Observação: escrevi 4 como 4^{1} para somar os expoentes.

Passo 4

Regra usada 2 (potência de potência): para quaisquer a e inteiros m,n vale
\left(a^{m}\right)^{n} = a^{m\cdot n}.
Explicação: elevar à potência n significa multiplicar a^{m} por si mesmo n vezes, totalizando m\cdot n fatores a. Exemplo: \left(3^{2}\right)^{3}=9^{3}=729 e pela regra 3^{2\cdot 3}=3^{6}=729.

Passo 5

Aplicando a regra ao numerador (o que está entre colchetes) elevado ao quadrado:
\left(4^{18}\right)^{2} = 4^{18\cdot 2} = 4^{36}.
E ao denominador:
\left(4^{5}\right)^{7} = 4^{5\cdot 7} = 4^{35}.

Passo 6

Regra usada 3 (divisão de potências de mesma base): para quaisquer a (não nulo) e inteiros m,n vale
\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n}.
Explicação: dos m fatores a do numerador, ao cancelar n fatores iguais do denominador, sobram m-n fatores a. Exemplo: \dfrac{2^{5}}{2^{3}}=\dfrac{32}{8}=4 e pela regra 2^{5-3}=2^{2}=4.

Passo 7

Aplicando a regra da divisão ao que obtivemos:
\frac{4^{36}}{4^{35}} = 4^{36-35} = 4^{1}.

Passo 8

Interpretando o resultado em relação às alternativas: a expressão simplifica para 4^{1}, que corresponde à alternativa correta listada no enunciado.

Resposta

d) 4

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