O valor médio de uma função contínua
um sólido
é definido por
onde
é o volume do sólido (compare com a definição anterior ao Exercício 61 da Seção 14.2). Use essa definição nestes exercícios.
Seja
a distância do ponto
ao ponto
. Use a operação de integração tripla numérica de um CAS para aproximar o valor médio de
com
. Redija um texto curto explicando por que esse valor pode ser considerado a distância média entre um ponto da diagonal de
a
e um ponto da face no plano
do cubo unitário
.
Seja
Passo 1
O enunciado define a função
que é a distância entre o ponto
na diagonal de
a
e o ponto
na face
do cubo unitário
. Pede-se o valor médio de
sobre esse sólido. O conteúdo é valor médio de função de três variáveis.
Passo 2
Pelo teorema do valor médio, como
, temos
Passo 3
Para aproximar numericamente, aplicamos num CAS a regra de Simpson tridimensional, dividindo cada eixo em
,
e
. A fórmula fica
onde os pesos
são
em cada direção.
Passo 4
Ao computar a soma ponderada no CAS, obtém-se
logo
Passo 5
Esse valor é exatamente a distância média entre um ponto
uniformemente sorteado na diagonal principal e um ponto
uniformemente sorteado na face
, pois a integral tripla computa a média de todas as distâncias possíveis com distribuição uniforme das coordenadas.