O valor médio de uma função contínua f(x, y, z) cm um sólido G é definido por
fm=1V(G) integralegral triplaG f(x, y, z) d V
onde V(G) é o volume do sólido (compare com a definição anterior ao Exercício 61 da Seção 14.2). Use essa definição nestes exercícios.
Seja d(x, y, z) a distância do ponto (z, z, z) ao ponto (x, y, 0). Use a operação de integração tripla numérica de um CAS para aproximar o valor médio de d com 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1 e 0 <= z <= 1. Redija um texto curto explicando por que esse valor pode ser considerado a distância média entre um ponto da diagonal de (0,0,0) a (1,1,1) e um ponto da face no plano xy do cubo unitário 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1 e 0 <= z <= 1.

Passo 1

O enunciado define a função
d(x,y,z)=raiz(x-z)^2+(y-z)^2+z^2
que é a distância entre o ponto (z,z,z) na diagonal de (0,0,0) a (1,1,1) e o ponto (x,y,0) na face z=0 do cubo unitário 0<= x,y,z<=1. Pede-se o valor médio de d sobre esse sólido. O conteúdo é valor médio de função de três variáveis.

Passo 2

Pelo teorema do valor médio, como V(G)=1, temos
fm=1V(G)integral triplaG d(x,y,z),dV =integral tripla0^1integral tripla0^1integral tripla0^1raiz(x-z)^2+(y-z)^2+z^2,dx,dy,dz

Passo 3

Para aproximar numericamente, aplicamos num CAS a regra de Simpson tridimensional, dividindo cada eixo em 0, 0,5 e 1. A fórmula fica
integral triplaG d,dV approx 1216sumi,j,kwiwjwk,d(xi,yj,zk),
onde os pesos w são 1,4,1 em cada direção.

Passo 4

Ao computar a soma ponderada no CAS, obtém-se
integral triplaG d,dV approx 0,7633,
logo
fm=0,7633approx0,76

Passo 5

Esse valor é exatamente a distância média entre um ponto (z,z,z) uniformemente sorteado na diagonal principal e um ponto (x,y,0) uniformemente sorteado na face z=0, pois a integral tripla computa a média de todas as distâncias possíveis com distribuição uniforme das coordenadas.

Resposta

fmapprox0,76

Exercícios relacionados