9- (Valor: 0,5) Permutam-se de todos os modos possíveis os algarismos 1, 2, 4, 6 e 7 e escrevem-se os números assim formados em ordem crescente.
a) que lugar ocupa o número 61724 ?
b) qual o número que ocupa a 66^{\circ} lugar?
c) qual o 200^{\circ} algarismo escrito?
d) qual a soma dos números assim formados?
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas sobre todas as permutações dos dígitos 1,2,4,6,7 escritas em ordem crescente. São 5!=120 números de cinco algarismos cada.
Para resolver, vamos usar:
Contagem de permutações para achar posições (ordem lexicográfica).
Cálculo direto da soma usando simetria de aparições dos dígitos em cada casa.
Passo 2
Para achar o lugar de 61724 na lista crescente, contamos quantos números são menores que ele.
Primeira casa = 6. Dígitos menores que 6 são \{1,2,4\}, cada um gerando 4!=24 números nas 4 casas seguintes, total 3\times24=72.
Prefixo “6” fixo, segunda casa = 1. Nenhum dígito restante é menor que 1, contribui 0.
Prefixo “61” fixo, terceira casa = 7. Dos restantes \{2,4,7\}, dois são menores 2,4, cada um gera 2!=2 números nas últimas 2 casas, total 2\times2=4.
As casas seguintes não somam mais números antes de 61724.
Logo, há 72+0+4=76 números antes de 61724, então ele fica na posição
76+1=77.
Passo 3
Para achar o 66^\circ número:
Cada bloco de primeira casa tem 4!=24 números. Como 66>48 e \le72, a primeira casa é 4 (os blocos são: 1–24, 25–48, 49–72). O índice dentro do bloco “4” é 66-48=18.
Agora permutamos \{1,2,6,7\} na segunda casa, cada escolha dá 3!=6 números. O índice 18 cai no 3.º subbloco 13–18, logo segunda casa = 6, novo índice 18-12=6.
Restam \{1,2,7\} para a terceira casa, cada dá 2!=2 números. Índice 6 está em (5–6), então terceira casa = 7, índice interno 6-4=2.
Nas duas últimas casas, sobram \{1,2\}. A ordem lex é (1,2) para índice 1 e (2,1) para índice 2. Como o índice é 2, as casas são 2,1.
Portanto o 66^\circ número é \underline{46721}.
Passo 4
Para achar o 200^\circ algarismo na concatenação dos 120 números de 5 dígitos temos 600 dígitos. O dígito d pertence ao número de índice
n=\bigl\lceil d/5\bigr\rceil
e ocupa a posição
r = d \bmod 5,\quad\text{com }r=5\text{ se o resto for }0.
Para d=200 vem n=200/5=40 e r=5. Já encontramos o 40^\circ número igualmente ao caso anterior:
Blocos de 24: 40>24 e \le48, primeira casa =2, índice 40-24=16.
Permutando \{1,4,6,7\} na segunda casa, blocos de 6: 16 cai em (13–18), segunda casa =6, índice 16-12=4.
Restam \{1,4,7\}, blocos de 2: índice 4 está em (3–4), terceira casa =4, índice 4-2=2.
Últimas duas casas: \{1,7\}, índice 2\to (7,1).
Logo o 40^\circ número é 26471 e seu 5.º dígito é \underline{1}.
Passo 5
A soma de todos os 120 números: por simetria cada um dos dígitos 1,2,4,6,7 aparece exatamente 4!=24 vezes em cada uma das 5 posições. Logo