(valor: 1,0 ponto) Considere um cilindro sólido definido por
x^{2}+y^{2} \leq 4 e 0 \leq z \leq 3,
A densidade no ponto ( x, y, z ) é
\rho(r, \theta, z)=1+r^{2}\left(\mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{2}\right),
Onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Calcule a massa total do cilindro usando coordenadas cilíndricas.
A) 12 \pi
B) 24 \pi
C) 36 \pi
D) 48 \pi
E) 60 \pi

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um cilindro com \,x^2+y^2\le4 e 0\le z\le3,
e densidade no ponto (x,y,z) dada por \rho(r,\theta,z)=1+r^2, onde r=\sqrt{x^2+y^2}.
Para achar a massa total, vamos usar coordenadas cilíndricas e lembrar que o volume elementar é \,dV=r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, o integral de massa fica
M=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{0}^{3}(1+r^2)\,r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 3

Integramos primeiro em z:
\int_{0}^{3}dz=3,
logo
M=3\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}(1+r^2)\,r\,dr\,d\theta =3\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}(r+r^3)\,dr\,d\theta.
Agora calculamos o integral em r:
\int_{0}^{2}(r+r^3)\,dr =\left[\frac{r^2}{2}+\frac{r^4}{4}\right]_{0}^{2} =\frac{4}{2}+\frac{16}{4}=2+4=6.

Passo 4

Substituindo de volta:
M=3\int_{0}^{2\pi}6\,d\theta =18\int_{0}^{2\pi}d\theta =18\cdot2\pi =36\pi.

Resposta

36\pi (alternativa C)

Exercícios relacionados