(valor: 1,0 ponto) Considere o sólido no primeiro octante limitado:
  • abaixo: z=0;
  • acima: z=x;
  • lateralmente: pelo cilindro parabólico x=y^{2} e pelo plano x=1.
Determine o volume desse sólido.
A) 1 / 4
B) 2 / 5
C) 1 / 2
D) 3 / 5
E) 3 / 8

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante limitado por
  • z=0 (plano inferior),
  • z=x (plano superior),
  • x=y^{2} e x=1 (lateralmente).
    O conteúdo é cálculo de volume por integral tripla. Vamos projetar o sólido no plano xy e escrever a integral com os limites apropriados.

Passo 2

No primeiro octante temos x\ge0 e y\ge0. A projeção D no plano xy é o conjunto de pontos tais que
y\ge0,\quad y^{2}\le x\le1.
Como y^{2}\le1 então 0\le y\le1. Logo
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le1,\;y^{2}\le x\le1\}.

Passo 3

O volume é dado por
V=\iiint_{\text{sólido}} dV =\iint_{D}\!\int_{z=0}^{z=x}dz\,dA.ó

Passo 4

Integramos primeiro em z:
\int_{z=0}^{z=x}dz = x.
Fica
V=\iint_{D} x\,dA =\int_{y=0}^{1}\!\int_{x=y^{2}}^{1} x\,dx\,dy.

Passo 5

Agora integramos em x:
\int_{x=y^{2}}^{1} x\,dx =\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{x=y^{2}}^{1} =\frac{1}{2}-\frac{y^{4}}{2}.
Então
V=\int_{y=0}^{1}\Bigl(\frac{1}{2}-\frac{y^{4}}{2}\Bigr)dy.

Passo 6

Integramos em y:
V =\frac{1}{2}\int_{0}^{1}(1-y^{4})\,dy =\frac{1}{2}\Bigl[y-\frac{y^{5}}{5}\Bigr]_{0}^{1} =\frac{1}{2}\Bigl(1-\tfrac{1}{5}\Bigr) =\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{5} =\frac{2}{5}.

Resposta

2/5 (alternativa B)

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