(valor: 1,0 ponto) Considere o sólido no primeiro octante limitado:
- abaixo:
;
- acima:
;
- lateralmente: pelo cilindro parabólico
e pelo plano
.
Determine o volume desse sólido.
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido no primeiro octante limitado por
-
(plano inferior), -
(plano superior), -
e (lateralmente).
O conteúdo é cálculo de volume por integral tripla. Vamos projetar o sólido no planoe escrever a integral com os limites apropriados.
Passo 2
No primeiro octante temos
e
. A projeção
no plano
é o conjunto de pontos tais que
Como
então
. Logo
Passo 3
O volume é dado por
Passo 4
Integramos primeiro em
:
Fica
Passo 5
Agora integramos em
:
Então
Passo 6
Integramos em
: