(valor: 1,0 ponto) Considere o sólido situado abaixo do cone
z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}
e acima do plano z=0, limitado pelo cilindro x^{2}+y^{2}=4.
Qual é o volume desse sólido?
A) \pi
B) 2 \pi
C) 4 \pi / 3
D) 8 \pi / 3
E) 4 \pi

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que fica abaixo da superfície \,z=\sqrt{x^2+y^2}, acima do plano \,z=0, e está “cortado” lateralmente pelo cilindro \,x^2+y^2=4.
Vamos usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), em que
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,\quad dV=r\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 2

Primeiro, determinamos até onde vai o sólido em altura. A interseção do cone z=r com o cilindro r=2
z=r=2.
Logo, o sólido ocupa 0\le z\le2.

Passo 3

Para cada z fixo entre 0 e 2, o ponto (r,\theta) satisfaz r\le z (pois estamos “abaixo do cone” descrito por z=r), e r\le2. Mas como z já vai até 2, basta 0\le r\le z. A seção horizontal a uma altura z é um disco de raio r_{\max}=z, cuja área vale
A(z)=\pi\,\bigl(z\bigr)^2.

Passo 4

Agora integramos as áreas de seção de z=0 até z=2:
V=\int_{z=0}^{2}A(z)\,dz =\int_{0}^{2}\pi\,z^2\,dz =\pi\left[\frac{z^3}{3}\right]_{0}^{2} =\pi\cdot\frac{8}{3} =\frac{8\pi}{3}.

Passo 5

Podemos também reconhecer que o sólido é um cone circular reto de altura H=2 e raio da base R=2, cujo volume é
V=\frac{1}{3}\,\pi\,R^2\,H =\frac{1}{3}\,\pi\,(2)^2\,(2) =\frac{8\pi}{3}.

Passo 6

A opção que corresponde a \,8\pi/3 é a alternativa (D).

Resposta

(D) \displaystyle \frac{8\pi}{3}

Exercícios relacionados