(valor: 1,0 ponto) Considere o sólido situado abaixo do cone
e acima do plano
, limitado pelo cilindro
.
Qual é o volume desse sólido?
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que fica abaixo da superfície
, acima do plano
, e está “cortado” lateralmente pelo cilindro
.
Vamos usar coordenadas cilíndricas , em que
Vamos usar coordenadas cilíndricas
Passo 2
Primeiro, determinamos até onde vai o sólido em altura. A interseção do cone
com o cilindro
dá
Logo, o sólido ocupa
.
Passo 3
Para cada
fixo entre 0 e 2, o ponto
satisfaz
(pois estamos “abaixo do cone” descrito por
), e
. Mas como
já vai até 2, basta
. A seção horizontal a uma altura
é um disco de raio
, cuja área vale
Passo 4
Agora integramos as áreas de seção de
até
:
Passo 5
Podemos também reconhecer que o sólido é um cone circular reto de altura
e raio da base
, cujo volume é
Passo 6
A opção que corresponde a
é a alternativa (D).
Resposta
(D)