(Valor 2 pontos) Encontre as assíntotas horizontais do gráfico de
f(x)=x-raizx^2+2 x+4x-1

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos encontrar as assíntotas horizontais da função f(x)=x-raizx^2+2x+4x-1. Isso envolve calcular os limites limxto+inftyf(x) e limxto-inftyf(x).

Passo 2

Para facilitar o cálculo dos limites, racionalizamos o numerador. Multiplicamos numerador e denominador por x+raizx^2+2x+4, obtendo
f(x)=(x-raizx^2+2x+4)(x+raizx^2+2x+4)(x-1)(x+raizx^2+2x+4) = -2x-4(x-1)l(x+raizx^2+2x+4r)

Passo 3

Cálculo de limxto+inftyf(x): para grandes x>0, temos
raizx^2+2x+4=xraiz1+2/x+4/x^2approx x(1+1/x)=x+1,
então o denominador em ordem dominante é (x-1)(2x+1)approx2x^2 e o numerador é -2x, logo
limxto+inftyf(x)=limxto+infty-2x-42x^2+x=0

Passo 4

Cálculo de limxto-inftyf(x): para grandes x<0, nota-se
raizx^2+2x+4=|x|raiz1+2/x+4/x^2=-xraiz1+2/x+4/x^2approx -x-1,
logo
x+raizx^2+2x+4approx -1,
então o denominador (x-1)(x+raizdots)approx-(x-1)approx -x e o numerador -2x-4approx -2x, resultando em
limxto-inftyf(x)=-2x-x=2

Resposta

As assíntotas horizontais são y=0 (para x→+∞) e y=2 (para x→−∞).

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