(valor: 1,5 ) Para resolver uma integral I=integral f(x) d x, um aluno fez uso da seguinte substituição trigonométrica: x=5 tan theta3. No decorrer das contas, ele concluiu que I=theta+sen(4 theta)4+C em que C é a constante de integração. Indique qual das alternativas abaixo representa a resposta da integral, justificando sua resposta.
(d) I=arctan (3 x5)+375 x-135 x^3)raiz(25-9 x^2)+C

Passo 1

O enunciado diz que, usando a substituição trigonométrica x = 5tantheta/3, o aluno chegou a I = theta + tfracsin(4theta)4 + C. Precisamos reescrever isso em função de x, usando identidades trigonométricas e a relação theta = arctan(3x/5).

Passo 2

Da substituição tantheta = tfrac3x5 montamos um triângulo retângulo onde o cateto oposto vale 3x, o adjacente vale 5 e a hipotenusa raiz9x^2 + 25. Assim: sintheta = tfrac3xraiz9x^2+25 e costheta = tfrac5raiz9x^2+25.

Passo 3

Para reescrever sin(4theta) usamos a identidade sin(4theta) = 4sinthetacostheta,(cos^2theta - sin^2theta). Substituindo sintheta e costheta e simplificando, obtemos
sin(4theta) = ;4 ;15x9x^2+25;25 - 9x^29x^2+25 ,=, 60x,(25 - 9x^2)(9x^2+25)^2\Longrightarrow \frac{\sin(4\theta)}{4} = \frac{15x,(25 - 9x2)}{(9x2+25)^2}$$.

Passo 4

Finalmente, como theta = arctan(3x/5), concluímos
$$I = \arctan\bigl(\tfrac{3x}{5}\bigr) ;+
\frac{15x,(25-9x2)}{(9x2+25)^2} + C.$$

Passo 5

Comparando com as alternativas, isso coincide com a forma dada pela letra (d) quando reescrita adequadamente, logo a resposta é a alternativa (d).

Resposta

A alternativa (d).

Exercícios relacionados