(valor: 1,5 ) Para resolver uma integral
, um aluno fez uso da seguinte substituição trigonométrica:
. No decorrer das contas, ele concluiu que
em que
é a constante de integração. Indique qual das alternativas abaixo representa a resposta da integral, justificando sua resposta.
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado diz que, usando a substituição trigonométrica x =
, o aluno chegou a
. Precisamos reescrever isso em função de x, usando identidades trigonométricas e a relação
.
Passo 2
Da substituição
montamos um triângulo retângulo onde o cateto oposto vale
, o adjacente vale 5 e a hipotenusa
. Assim:
e
.
Passo 3
Para reescrever
usamos a identidade
. Substituindo
e
e simplificando, obtemos
Passo 4
Finalmente, como
, concluímos
$$I = \arctan\bigl(\tfrac{3x}{5}\bigr) ;+
\frac{15x,(25-9x2)}{(9x2+25)^2} + C.$$
Passo 5
Comparando com as alternativas, isso coincide com a forma dada pela letra (d) quando reescrita adequadamente, logo a resposta é a alternativa (d).
Resposta
A alternativa (d).