(Valor 2,0) Seja h(x)=\int_{0}^{\ln x} t . e^{t} d t.
(a) Determine \mathrm{h}(e).
(b) Encontre h^{\prime}(x).

Passo 1

O enunciado define
h(x)=\int_{0}^{\ln x}t\,e^{t}\,dt
e pede: (a) h(e) e (b) h'(x). Para (a) vamos usar integração por partes na integral de 0 a 1. Para (b) aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo junto com a regra da cadeia.

Passo 2

Calcular h(e): note que \ln e=1, logo
h(e)=\int_{0}^{1}t\,e^{t}\,dt.
Fazendo integração por partes com u=t, dv=e^{t}dt ( du=dt, v=e^{t}), obtemos
\int_{0}^{1}t\,e^{t}dt=\bigl[t\,e^{t}\bigr]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}e^{t}dt =(1\cdot e-0)-\bigl[e^{t}\bigr]_{0}^{1} =e-(e-1)=1.

Passo 3

Calcular h'(x): defina H(u)=\int_{0}^{u}t\,e^{t}dt, assim h(x)=H(\ln x). Pelo Teorema Fundamental e regra da cadeia,
h'(x)=H'(\ln x)\cdot\frac{d}{dx}(\ln x) =(\ln x)\,e^{\ln x}\cdot\frac{1}{x} =(\ln x)\,\frac{x}{x} =\ln x.

Resposta

(a) 1\n(b) h'(x)=\ln x

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