Qual o valor da taxa de juros anual para que um capital triplique ao fim de 10 anos? R.: 11,6123% a. a. (Ehrlich; Morais, 2013).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. A gente precisa descobrir qual é a taxa de juros anual que faz com que um dinheiro triplique de valor em 10 anos. Vamos usar o conceito de juros compostos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula dos juros compostos, que é:
Cfinal = C times (1 + r)^n
Aqui:
  • $ C_{final} $ é o valor final do investimento.
  • $ C $ é o capital inicial.
  • $ r $ é a taxa de juros anual.
  • $ n $ é o número de anos.

Passo 3

No nosso caso, queremos que o capital triplique, ou seja, $ C_{final} = 3C Cfinal = 3C é n = 10 $). Vamos substituir esses valores na fórmula:
n = 10

Passo 4

Agora, vamos simplificar a equação. Podemos dividir os dois lados por $ C $:
C
Para resolver para $ r $, precisamos eliminar o expoente. A maneira de fazer isso é usando o logaritmo. Vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
3 = (1 + r)^10

Passo 5

Agora, isolamos $ \ln(1 + r) $:
ln(1 + r)
Calculando o valor de $ \ln(3) $ que é aproximadamente 1,0986:
ln(1 + r) = ln(3)10
ln(3)
Agora, para encontrar $ 1 + r $, usamos a função exponencial:
ln(1 + r) approx 1,098610
ln(1 + r) approx 0,10986
Finalmente, subtraímos 1 para encontrar $ r $:
1 + r

Resposta

A taxa de juros anual necessária é de aproximadamente 11,6123% a.a.

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