Qual o valor da taxa de juros anual para que um capital triplique ao fim de 10 anos? R.: 11,6123% a. a. (Ehrlich; Morais, 2013).
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. A gente precisa descobrir qual é a taxa de juros anual que faz com que um dinheiro triplique de valor em 10 anos. Vamos usar o conceito de juros compostos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula dos juros compostos, que é:
Aqui:
- $ C_{final} $ é o valor final do investimento.
- $ C $ é o capital inicial.
- $ r $ é a taxa de juros anual.
- $ n $ é o número de anos.
Passo 3
No nosso caso, queremos que o capital triplique, ou seja, $ C_{final} = 3C
n = 10 $). Vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a equação. Podemos dividir os dois lados por $ C $:
Para resolver para $ r $, precisamos eliminar o expoente. A maneira de fazer isso é usando o logaritmo. Vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 5
Agora, isolamos $ \ln(1 + r) $:
Calculando o valor de $ \ln(3) $ que é aproximadamente 1,0986:
Agora, para encontrar $ 1 + r $, usamos a função exponencial:
Finalmente, subtraímos 1 para encontrar $ r $:
Resposta
A taxa de juros anual necessária é de aproximadamente 11,6123% a.a.