Para os valores (escores) 205, 6, 5, 5, 5, 2 e 1 calcule a moda, a mediana e a média aritmética. Além disso, responda que medida de tendência central não deveria ser usada para descrever esse conjunto de escores? Por quê? Resp: media=32,7 ; mediana=moda=5
Passo 1
Vou deixar claro o que o problema pede e quais dados temos. O enunciado dá os escores:
205,\;6,\;5,\;5,\;5,\;2,\;1.
As perguntas são:
Calcular a moda.
Calcular a mediana.
Calcular a média aritmética.
Dizer qual medida de tendência central NÃO deveria ser usada para descrever este conjunto e explicar por quê.
Passo 2
Média aritmética — definição e fórmula. A média aritmética de um conjunto de n valores x_1,x_2,\dots,x_n é
\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i,
onde \overline{x} representa a média, n é o número de observações e \sum indica a soma de todos os valores.
Arredondando com uma casa decimal, fica \overline{x}\approx 32,7.
Passo 3
Mediana — definição e procedimento. A mediana é o valor que fica no meio dos dados quando eles são ordenados. Se n é ímpar, a mediana é o elemento de ordem \dfrac{n+1}{2}. Se n é par, a mediana é a média dos dois valores do meio.
Ordeno os dados em ordem crescente:
1,\;2,\;5,\;5,\;5,\;6,\;205.
Aqui n=7 (ímpar), então a posição da mediana é
\frac{n+1}{2}=\frac{7+1}{2}=4.
A mediana é o 4.º valor da lista ordenada, que é 5. Logo a mediana é 5.
Passo 4
Moda — definição e cálculo. A moda é o valor que aparece com maior frequência no conjunto de dados. Conto as frequências:
\begin{array}{l} 1\text{ aparece 1 vez},\\\\ 2\text{ aparece 1 vez},\\\\ 5\text{ aparece 3 vezes},\\\\ 6\text{ aparece 1 vez},\\\\ 205\text{ aparece 1 vez}. \end{array}
O valor com maior frequência é 5 (aparece 3 vezes). Portanto a moda é 5.
Passo 5
Qual medida NÃO deveria ser usada e por quê — explicação didática. Observação importante: a média aritmética é sensível a valores extremos (outliers). Um outlier é um valor muito distante dos demais, que pode puxar a média para longe do “centro” dos outros dados.
Neste conjunto, 205 é um outlier em relação aos outros escores (todos os outros são 6 ou menores). Isso faz com que a média \overline{x}=32,714\ldots seja muito maior do que a maioria dos valores (a maior parte dos escores está em torno de 1 a 6). Para ver o efeito, calcule a média sem o 205:
\text{soma sem }205 = 229-205=24,
\text{média sem }205 = \frac{24}{6}=4.é
Repare que sem o outlier a média é 4, bem próxima da mediana e da moda (5). Isso mostra que o outlier 205 inflou a média para \approx 32,7, tornando-a pouco representativa do “centro” dos demais escores.
Conclusão: a medida que NÃO deveria ser usada para descrever este conjunto é a média aritmética, porque ela é fortemente influenciada pelo valor extremo 205. Em vez disso, a mediana (ou a moda) descreve melhor a tendência central aqui, pois são medidas robustas a outliers.
Passo 6
Resumo prático (como usar isso na prova). Se num conjunto houver valores muito discrepantes, prefira reportar a mediana como medida de tendência central. A média só é boa quando os dados não têm outliers fortes e são aproximadamente simétricos. Se quiser um compromisso, pode usar uma média aparada (trimmed mean), mas na maioria das questões simples a mediana basta.
Resposta
Média aritmética: \overline{x}=32,714285\ldots\approx 32,7
Mediana: 5
Moda: 5
Medida a não usar: média aritmética — porque o outlier 205 puxa a média para cima, tornando-a não representativa dos restantes escores.