Para quais valores de a \in \mathbb{N}.
\((a+3) \mid\left(a^{3}-3\right))

Passo 1

O enunciado pede: para quais valores de a\in\mathbb{N} temos
(a+3)\mid\bigl(a^3-3\bigr)?
O conteúdo usado será resto de divisão de polinômio e enumeração de divisores de um inteiro.

Passo 2

Para verificar (a+3)\mid(a^3-3), usamos o fato de que o resto de f(a)=a^3-3 ao dividir por a+3 é f(-3). Calculando:
f(-3)=(-3)^3-3=-27-3=-30.
Logo, a condição equivale a
(a+3)\mid 30.

Passo 3

Os divisores positivos de 30 são
1,2,3,5,6,10,15,30.
Como a+3 deve ser um desses valores, escrevemos a=d-3 para cada divisor d.

Passo 4

Subtraindo 3 de cada divisor:
1-3=-2,\quad 2-3=-1,\quad 3-3=0,\quad 5-3=2,\quad 6-3=3,\quad 10-3=7,\quad 15-3=12,\quad 30-3=27.
Desses, os que pertencem a \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\} são
2,3,7,12,27.

Resposta

Os valores de a\in\mathbb{N} que satisfazem (a+3)\mid(a^3-3) são
2,\;3,\;7,\;12,\;27.

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