Para quais valores de a \in \mathbb{N}.
\((a-2) \mid\left(a^{3}+4\right))

Passo 1

O enunciado pede: “Encontrar todos os a\in\mathbb{N} tais que (a-2) divide \bigl(a^3+4\bigr)”.
O conteúdo aqui é o teorema do resto em polinômios: quando dividimos um polinômio P(a) por a-c, o resto é P\text{(c)}.

Passo 2

Em vez de aplicar diretamente o teorema do resto, podemos escrever
a^3+4 = (a-2)\cdot Q(a) + R,
onde R é o resto constante. Para achar R, basta avaliar o polinômio em a=2:
R = 2^3 + 4 = 8 + 4 = 12.
Logo
a^3 + 4 = (a-2)\,Q(a) + 12.

Passo 3

A condição (a-2)\mid (a^3+4) é equivalente a exigir que (a-2) divida o resto 12. Em símbolos:
(a-2)\mid 12.

Passo 4

Os divisores inteiros de 12 são
\pm1,\;\pm2,\;\pm3,\;\pm4,\;\pm6,\;\pm12.
Logo a-2 deve ser um desses valores. Assim
a = 2 + d,\quad\text{com }d\in\{\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm12\}.
Como queremos apenas a\in\mathbb{N} e não podemos ter a-2=0 (divisão por zero), obtemos:
a \in \{\,2\pm1,\;2\pm2,\;2\pm3,\;2\pm4,\;2\pm6,\;2\pm12\} \cap\mathbb{N}\setminus\{2\}.
Isso dá exatamente
a \in \{1,3,4,5,6,8,14\}.

Resposta

Os valores de a\in\mathbb{N} que satisfazem (a-2)\mid(a^3+4) são
\{1,\,3,\,4,\,5,\,6,\,8,\,14\}.

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