Sejam
.
Se
, mostre que,
, temos que
divide
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados inteiros
e
tais que
, temos
para todo
.
O conteúdo central aqui é a teoria de divisibilidade aliada à fatoração da diferença de potências, em particular:
O conteúdo central aqui é a teoria de divisibilidade aliada à fatoração da diferença de potências, em particular:
- A fatoração geral
- A fatoração de diferença de quadrados
Passo 2
Aplique a fatoração de potências ao caso
e
. Temos
Daí concluímos que
Passo 3
Agora observe que
Como
e
são inteiros, segue que
divide
. Pela transitividade da divisibilidade, temos então
Resposta
Como mostrado, para todo
vale