Sejam a, b \in \mathbb{Z}.
Se a+b \neq 0, mostre que, \forall n \in \mathbb{N}, temos que a+b divide a^{2 n}-b^{2 n}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados inteiros a e b tais que a+b\neq0, temos
a+b \mid a^{2n}-b^{2n}
para todo n\in\mathbb{N}.
O conteúdo central aqui é a teoria de divisibilidade aliada à fatoração da diferença de potências, em particular:
  1. A fatoração geral
x^n - y^n = (x - y)\bigl(x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+y^{n-1}\bigr).
  1. A fatoração de diferença de quadrados
a^2 - b^2 = (a+b)(a-b).

Passo 2

Aplique a fatoração de potências ao caso x=a^2 e y=b^2. Temos
a^{2n} - b^{2n} = (a^2)^n - (b^2)^n = \bigl(a^2 - b^2\bigr)\Bigl((a^2)^{\,n-1} + (a^2)^{\,n-2}b^2 + \cdots + b^{2(n-1)}\Bigr).
Daí concluímos que
a^2 - b^2 \;\Bigm|\; a^{2n}-b^{2n}.

Passo 3

Agora observe que
a^2 - b^2 = (a+b)(a-b).
Como a+b e a-b são inteiros, segue que a+b divide a^2-b^2. Pela transitividade da divisibilidade, temos então
a+b \;\Bigm|\; a^2-b^2 \quad\text{e}\quad a^2-b^2 \;\Bigm|\; a^{2n}-b^{2n} \;\Longrightarrow\; a+b \;\Bigm|\; a^{2n}-b^{2n}.

Resposta

Como mostrado, para todo n\in\mathbb{N} vale
a+b \mid a^{2n}-b^{2n}.

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