Em vez de usar das definiçōes usuais de soma e multiplicação por escalar em R^3, mostre que o conjunto R^3 a partir das operaçōes definidas abaixo:
Adição: (x1, y1, z1)+(x2, y2, z2)=(x1+1, y1+y2+1, z1+z2+1) / Multiplicação por um escalar: c(x1, y1, z1)=(c x1+c-1, c y1+c-1, c z1+c-1), com c in R.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, com a adição definida por
(x1,y1,z1) + (x2,y2,z2) = (x1+x2+1,;y1+y2+1,;z1+z2+1)
e a multiplicação por escalar definida por
c,(x1,y1,z1) = (c,x1+c-1,;c,y1+c-1,;c,z1+c-1),
o conjunto R^3 é um espaço vetorial sobre R. Para isso vamos exibir um isomorfismo que leva essas operações às usuais em R^3.

Passo 2

Definimos a aplicação
phicolon R^3 to R^3, phi(x,y,z) = (x+1,;y+1,;z+1)
Mostramos que phi é bijetiva, pois sua inversa é
phi^-1(u,v,w) = (u-1,;v-1,;w-1)

Passo 3

Verificamos que phi transporta a soma nova na soma usual. Para quaisquer (x1,y1,z1) e (x2,y2,z2) em R^3:
phil((x1,y1,z1) + (x2,y2,z2)r) &= phi(x1+x2+1,;y1+y2+1,;z1+z2+1) &= (x1+x2+2,;y1+y2+2,;z1+z2+2) &= (x1+1 + x2+1,;y1+1 + y2+1,;z1+1 + z2+1) &= phi(x1,y1,z1) +usual phi(x2,y2,z2)

Passo 4

Verificamos que phi transporta a multiplicação escalar nova na usual. Para cinR e (x,y,z)inR^3:
phil(c,(x,y,z)r) &= phi(c,x + c - 1,;c,y + c - 1,;c,z + c - 1) &= (c,x + c,;c,y + c,;c,z + c) &= c,(x+1,;y+1,;z+1) = c;phi(x,y,z),
onde a última igualdade é a multiplicação escalar usual em R^3.

Passo 5

Como (R^3,,+usual,,cdotusual) é espaço vetorial e phi é bijetora que preserva soma e multiplicação escalar, concluímos que (R^3,,+,;cdot) definido no enunciado também é espaço vetorial sobre R.

Resposta

O conjunto R^3 com as operações dadas é um espaço vetorial sobre R.

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