Em vez de usar das definiçōes usuais de soma e multiplicação por escalar em
, mostre que o conjunto
a partir das operaçōes definidas abaixo:
Adição:
Multiplicação por um escalar:
,
.
Adição:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, com a adição definida por
e a multiplicação por escalar definida por
o conjunto
é um espaço vetorial sobre
. Para isso vamos exibir um isomorfismo que leva essas operações às usuais em
.
Passo 2
Definimos a aplicação
Mostramos que
é bijetiva, pois sua inversa é
Passo 3
Verificamos que
transporta a soma nova na soma usual. Para quaisquer
e
em
:
Passo 4
Verificamos que
transporta a multiplicação escalar nova na usual. Para
e
:
onde a última igualdade é a multiplicação escalar usual em
.
Passo 5
Como
é espaço vetorial e
é bijetora que preserva soma e multiplicação escalar, concluímos que
definido no enunciado também é espaço vetorial sobre
.
Resposta
O conjunto
com as operações dadas é um espaço vetorial sobre
.