Para quais valores de
cada série é convergente?
Passo 1
O enunciado pede a convergência em função de
da série alternada
O conteúdo envolvido é teste de convergência absoluta (pelo teste da integral) e teste de convergência de séries alternadas (teste de Leibniz).
Passo 2
Analisamos primeiro a convergência absoluta, isto é, da série
Aplicamos o teste da integral. Considere
Fazendo
,
, os limites vão de
a
, então
Passo 3
O integral
converge se, e somente se,
, pois
só é finito quando
. Logo a série original converge absolutamente para
e diverge absolutamente para
.
Passo 4
Agora aplicamos o teste de Leibniz à série alternada
com
(i) Temos
para todo
, pois
cresce mais devagar que qualquer potência de
.
(ii) Para verificar que é eventualmente decrescente, note que a função
(ii) Para verificar que
tem derivada
que é negativa para
, ou seja, para
. Assim, a partir de algum
(por exemplo
),
decresce monotonicamente.
Pelos critérios de Leibniz, isso garante convergência condicional para toda
.
Passo 5
Conclusão final em termos de
:
- Convergência absoluta: para
. - Convergência condicional (alternada): para todo
, em particular para .
Resposta
A série converge para todo
. Ela converge absolutamente se, e somente se,
e converge apenas condicionalmente (alternada) para