Para quais valores de p cada série é convergente?
sumn=2^infty(-1)^n-1 (ln n)^pn

Passo 1

O enunciado pede a convergência em função de p da série alternada
sumn=2^infty(-1)^n-1,(ln n)^pn
O conteúdo envolvido é teste de convergência absoluta (pelo teste da integral) e teste de convergência de séries alternadas (teste de Leibniz).

Passo 2

Analisamos primeiro a convergência absoluta, isto é, da série
sumn=2^infty(ln n)^pn
Aplicamos o teste da integral. Considere
integral2^infty(ln x)^px,dx
Fazendo t=ln x, dt=dx/x, os limites vão de t=ln2 a ttoinfty, então
integralln2^inftyt^p,dt

Passo 3

O integral integralln2^inftyt^p,dt converge se, e somente se, p<-1, pois
integralln2^inftyt^p,dt=[t^p+1p+1]ln2^infty
só é finito quando p+1<0. Logo a série original converge absolutamente para
p< -1,
e diverge absolutamente para p>= -1.

Passo 4

Agora aplicamos o teste de Leibniz à série alternada sum(-1)^n-1an com
an=(ln n)^pn
(i) Temos limntoinftyan=0 para todo pinR, pois ln n cresce mais devagar que qualquer potência de n.
(ii) Para verificar que an é eventualmente decrescente, note que a função
f(x)=(ln x)^px
tem derivada
f'(x)=(ln x)^,p-1(p-ln x)x^2,
que é negativa para ln x>p, ou seja, para x>e^p. Assim, a partir de algum N (por exemplo N=lceil e^prceil), an decresce monotonicamente.
Pelos critérios de Leibniz, isso garante convergência condicional para toda p.

Passo 5

Conclusão final em termos de p:
  • Convergência absoluta: para p< -1.
  • Convergência condicional (alternada): para todo pinR, em particular para p>= -1.

Resposta

A série converge para todo pinR. Ela converge absolutamente se, e somente se,
p< -1,
e converge apenas condicionalmente (alternada) para
p>= -1

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