Para quais valores reais de k a função f(x)=(k-1) x^{2}-2 x+4 não admite zeros reais.

Passo 1

O enunciado pede os valores de k\in\mathbb{R} para os quais a função
f(x) = (k-1)\,x^2 \;-\; 2x \;+\; 4
não tem zeros reais. O conteúdo aqui é estudar as raízes de uma função polinomial de grau até 2, usando o discriminante e tratando o caso degenerado quando o coeficiente quadrático se anula.

Passo 2

Verificamos primeiro o caso degenerado k-1=0, isto é, k=1. Nesse caso
f(x) = -2x + 4
é uma função afim, cuja raiz é dada por -2x+4=0\Rightarrow x=2. Logo para k=1 existe exatamente um zero real e não entra na nossa condição de “nenhum zero real”.

Passo 3

Para k\neq1 a função é realmente quadrática com
a = k-1,\quad b = -2,\quad c = 4.
O discriminante é
\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4\,(k-1)\,4 = 4 -16\,(k-1) = 20 -16k.
Para que não haja raízes reais precisamos de
\Delta < 0 \quad\Longrightarrow\quad 20 -16k < 0 \quad\Longrightarrow\quad k > \frac{20}{16} = \frac{5}{4}.

Passo 4

Como k>5/4 já garante k\neq1, concluímos que a condição necessária e suficiente para que f(x) não tenha zeros reais é
k > \frac{5}{4}.

Resposta

k>\tfrac{5}{4}

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