Quais os valores reais de x para os quais a matriz M=[cccx & 2 & 3 -1 & x & 2 2 & 1 & 1] não admite inversa?

Passo 1

O enunciado pede os valores reais de x para os quais a matriz
M = x & 2 & 3 -1 & x & 2 2 & 1 & 1
não admite inversa. Lembre que uma matriz quadrada não é invertível precisamente quando seu determinante é zero. Vamos, portanto, calcular det(M) e achar para quais x ele se anula.

Passo 2

Usamos a expansão de Laplace pela primeira linha para expressar det(M):
det(M) = x ,detx & 21 & 1 - 2 ,det-1 & 22 & 1 + 3 ,det-1 & x2 & 1

Passo 3

Calculamos cada determinante 2times2:
detx & 21 & 1 = xcdot1 - 2cdot1 = x - 2,
det-1 & 22 & 1 = (-1)cdot1 - 2cdot2 = -1 - 4 = -5,
det-1 & x2 & 1 = (-1)cdot1 - xcdot2 = -1 - 2x
Substituindo em det(M), temos
det(M) = x(x-2) - 2(-5) + 3(-1-2x) = x^2 - 2x + 10 -3 -6x = x^2 -8x +7

Passo 4

Para que M não seja invertível, precisamos de
det(M)=0 Longrightarrow x^2 -8x +7 = 0
Essa equação fatoriza como
x^2 -8x +7 = (x-1)(x-7) = 0,
cuja soluções são ,x=1 e ,x=7.

Resposta

Os valores de x para os quais M não admite inversa são
x = 1 e x = 7

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