Para que valores de \theta, 0 \leq \theta<2 \pi, tem-se
\operatorname{tg} \theta=-1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os ângulos \theta no intervalo [0,2\pi) tais que \operatorname{tg}\theta=-1.
O conteúdo trigonométrico que precisamos é saber que a função tangente tem período \pi e que \tan(-\pi/4)=-1.

Passo 2

A solução geral de \tan\theta=-1 vem de escrever
\theta = -\frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k\in\mathbb{Z},
pois a tangente repete seu valor a cada \pi.

Passo 3

Agora impomos 0\le\theta<2\pi. Substituindo valores inteiros de k:
Para k=1:
\theta_1 = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4},
que está em [0,2\pi).
Para k=2:
\theta_2 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4},
também em [0,2\pi).
Valores k=0 e k=3 geram ângulos fora do intervalo pedido.

Resposta

\theta = \tfrac{3\pi}{4} e \theta = \tfrac{7\pi}{4}.

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