Para quais valores de a os vetores v1=(a,-1,-1), v2=(-1, a,-1) e v3=(-1,-1, a) formam um conjunto linearmente dependente em R^3 ?

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em R^3:
v1=(a,-1,-1), v2=(-1,a,-1), v3=(-1,-1,a),
e pede para quais valores de a eles são linearmente dependentes.
Conteúdo: teste de dependência linear usando determinante de matriz 3times3.

Passo 2

Para verificar dependência linear montamos a matriz cujas linhas (ou colunas) são esses vetores e exigimos que o determinante seja zero:
M = a & -1 & -1 -1 & a & -1 -1 & -1 & a ,
v1,v2,v3 dependentesiff det(M)=0

Passo 3

Calculando det(M) por Sarrus:
det(M) = acdot acdot a + (-1)(-1)(-1) + (-1)(-1)(-1) - l((-1)cdot acdot(-1) + (-1)cdot(-1)cdot a + acdot(-1)cdot(-1)r)
= a^3 -1 -1 - (a + a + a) = a^3 -2 -3a = a^3 -3a -2

Passo 4

Fatoramos o polinômio:
a^3 -3a -2 = (a-2)(a+1)^2
Logo det(M)=0 exatamente quando
a-2=0ou(a+1)^2=0,
isto é,
a=2ou a=-1

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes para a=-1 ou a=2.

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