Para quais valores de x as seguintes séries de potências convergem?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descobrir para quais valores de a série de potências
converge. Isso envolve conceitos de séries de potências e convergência de séries. Vamos precisar usar o teste da razão ou o teste da raiz para determinar o intervalo de convergência dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a aplicação dos testes de convergência. O termo geral é:
Podemos reescrever como , mas para facilitar, vamos focar na parte que envolve .
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão, que é útil para séries com termos que envolvem fatorial ou potências. O teste diz que se:
e:
Se L < 1 , a série converge.
Se L > 1 , a série diverge.
Se L = 1 , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Calculando :
Simplificando:
Tomando o valor absoluto:
Passo 5
Agora, calculamos o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty |x|^2 cdot 2n-12n+1 = |x|^2 cdot limn to infty 2n-12n+1 = |x|^2 cdot 1 = |x|^2
Então, L = |x|^2 .
Passo 6
Aplicando o Teste da Razão:
Se |x|^2 < 1 , ou seja, |x| < 1 , a série converge.
Se |x|^2 > 1 , ou seja, |x| > 1 , a série diverge.
Se |x|^2 = 1 , ou seja, |x| = 1 , o teste é inconclusivo e precisamos analisar separadamente.
Passo 7
Vamos analisar os casos em que |x| = 1 , ou seja, x = 1 e x = -1 .