Para quais valores de x as seguintes séries de potências convergem?
sumn=1^infty (-1)^n-1 x^2 n-12 n-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descobrir para quais valores de x a série de potências
sumn=1^infty (-1)^n-1 x^2n-12n-1
converge. Isso envolve conceitos de séries de potências e convergência de séries. Vamos precisar usar o teste da razão ou o teste da raiz para determinar o intervalo de convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar a aplicação dos testes de convergência. O termo geral é:
an = (-1)^n-1 x^2n-12n-1
Podemos reescrever x^2n-1 como x cdot x^2(n-1) , mas para facilitar, vamos focar na parte que envolve n .

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão, que é útil para séries com termos que envolvem fatorial ou potências. O teste diz que se:
L = limn to infty | an+1an |
e:
  • Se L < 1 , a série converge.
  • Se L > 1 , a série diverge.
  • Se L = 1 , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Calculando :
Simplificando:
Tomando o valor absoluto:

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty |x|^2 cdot 2n-12n+1 = |x|^2 cdot limn to infty 2n-12n+1 = |x|^2 cdot 1 = |x|^2
Então, L = |x|^2 .

Passo 6

Aplicando o Teste da Razão:
  • Se |x|^2 < 1 , ou seja, |x| < 1 , a série converge.
  • Se |x|^2 > 1 , ou seja, |x| > 1 , a série diverge.
  • Se |x|^2 = 1 , ou seja, |x| = 1 , o teste é inconclusivo e precisamos analisar separadamente.

Passo 7

Vamos analisar os casos em que |x| = 1 , ou seja, x = 1 e x = -1 .
Para x = 1 :
sumn=1^infty (-1)^n-1 (1)^2n-12n-1 = sumn=1^infty (-1)^n-12n-1
Essa é a série alternada da forma sum (-1)^n-1 bn com bn = 12n-1 , que é decrescente e tende a zero. Pelo Teste da Série Alternada, a série converge.
Para x = -1 :
sumn=1^infty (-1)^n-1 (-1)^2n-12n-1 = sumn=1^infty (-1)^n-1 (-1)^2n (-1)2n-1 = sumn=1^infty (-1)^n2n-1
Novamente, temos uma série alternada que também converge pelo mesmo teste.

Resposta

A série converge para todos os valores de x tais que |x| <= 1 . Ou seja, para x no intervalo [-1, 1].

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