(Variação dos Parâmetros) Use o método de Variação dos Parâmetros para obter a solução geral das equações e, quando for o caso, obter a solução dos problemas de valores inicial.
y^prime prime+y=cos t

Passo 1

Estamos lidando com a EDO não homogênea de segunda ordem y'' + y = cos t. O que vamos precisar: encontrar primeiro a solução geral da equivalente homogênea ( y'' + y = 0) e depois usar o método de variação dos parâmetros para obter uma solução particular que some ao yh e nos dê a solução geral.

Passo 2

A equação homogênea associada é y'' + y = 0. Montamos a equação característica
r^2 + 1 = 0
cuja solução é r = pm i. Logo a solução geral homogênea é
yh(t) = C1cos t + C2sin t

Passo 3

Escolhemos as duas soluções fundamentais
y1(t)=cos t, y2(t)=sin t

Passo 4

Calculamos o Wronskiano
W(t)=cos t & sin t -sin t & cos t=cos^2t+sin^2t=1

Passo 5

No método de variação dos parâmetros, definimos funções u1(t) e u2(t) tais que a solução particular seja yp = u1y1 + u2y2 e satisfazendo
u1'(t) = -y2(t),r(t)W(t), u2'(t) = y1(t),r(t)W(t),

Passo 6

onde r(t)=cos t. Substituindo os valores:
u1'(t) = -sin tcdotcos t, u2'(t) = cos tcdotcos t = cos^2 t

Passo 7

Integramos para obter u1 e u2:
u1(t) = integral -sin tcos t,dt = -tfrac12sin^2 t + K1,

Passo 8

u2(t) = integral cos^2 t,dt = integral tfrac1+cos2t2,dt = tfrac t2 + tfrac14sin2t + K2

Passo 9

Constantes de integração K1,K2 podem ser absorvidas na parte homogênea, então fazemos K1=K2=0. Agora o candidato a particular é
yp = u1cos t + u2sin t = l(-tfrac12sin^2 tr)cos t + l(tfrac t2 + tfrac14sin2tr)sin t

Passo 10

Repare que sin2t=2sin tcos t, então
yp = -tfrac12sin^2 tcos t + tfrac t2sin t + tfrac14cdot2sin tcos tsin t = tfrac t2sin t,

Passo 11

pois os termos com sin^2tcos t se cancelam. Assim,
yp(t)= t2sin t

Passo 12

A solução geral da equação não homogênea fica
y(t)=yh(t)+yp(t)=C1cos t + C2sin t + t2sin t

Resposta

y(t)=C1cos t + C2sin t + t2sin t

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