(Variação dos Parâmetros) Use o método de Variação dos Parâmetros para obter a solução geral das equações e, quando for o caso, obter a solução dos problemas de valores inicial.
\left{ ly^prime prime+y^prime=2+t^2, y(0)=1, y^prime(0)=2,\right.)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO não homogênea de 2º ordem
y'' + y' = 2 + t^2,
com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=2, usando Variação dos Parâmetros. Vamos precisar achar primeiro a solução geral da equação homogênea associada e depois aplicar o método de variação dos parâmetros para obter uma particular.

Passo 2

A equação homogênea é
y'' + y' = 0
Usamos a equação característica r^2 + r = 0, cujas raízes são r=0 e r=-1. Logo, uma base de soluções é
y1(t)=1,
y2(t)=e^-t

Passo 3

No método de Variação dos Parâmetros definimos
yp = u1(t),y1(t) + u2(t),y2(t)
e impomos
u1' y1 + u2' y2 = 0, u1' y1' + u2' y2' = g(t),
onde g(t)=2+t^2. O Wronskiano vale
Assim
W = y1 & y2 y1' & y2' = 1cdot(-e^-t) - 0 = -e^-t
u1' = -g(t),y2W = 2 + t^2,

Passo 4

Agora integramos:
u1(t) = integral(2 + t^2),dt = 2t + t^33 + C1,
integral(2 + t^2)e^tdt = e^t(t^2 - 2t + 4) + C, então nu2(t) = -e^t(t^2 - 2t + 4) + C2 ã
Logo a solução geral é
y(t) = u1 + u2 e^-t = l(2t + tfract^33 + C1r) + l[-(t^2 - 2t + 4) + C2 e^-tr]
Reagrupando e absorvendo constantes, obtemos
y(t) = C1' + C2 e^-t + t^33 - t^2 + 4t

Passo 5

Para satisfazer as condições iniciais, calculamos
y(0)=C1' + C2 = 1,
y'(t) = -C2 e^-t + t^2 - 2t + 4,
y'(0) = -C2 + 4 = 2 implies C2 = 2,
C1' = 1 - C2 = -1
Substituindo, a solução que satisfaz y(0)=1 e y'(0)=2 é obtida.

Resposta

y(t) = t^33 - t^2 + 4t - 1 + 2e^-t

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