Uma variável aleatória
segue o modelo normal com média 100 e desvio padrão 5. Determine:
Passo 1
O enunciado fornece uma variável aleatória
com distribuição normal e os seguintes dados:
- média:
, - desvio padrão:
.
O que é pedido:
- Calcular
.
Passo 2
O que significa a informação dada e o que vamos usar.
- A afirmação “
segue o modelo normal com média e desvio padrão ” quer dizer que tem densidade em forma de sino e que a sua localização central é e a dispersão é medida por . - Para calcular probabilidades do tipo
é comum transformar em uma variável padrão, chamada , que tem média e desvio . Isso facilita porque existe uma tabela (ou função) da distribuição normal padrão que dá valores de probabilidades acumuladas.
Passo 3
Apresentando a fórmula de padronização e explicando cada símbolo.
- A padronização é feita com a fórmula
Aqui:
-
é a variável original, -
é a média de , -
é o desvio padrão de , -
é a variável normal padrão com média e desvio . - A consequência prática é que
Passo 4
Calcular o valor de
correspondente ao ponto
.
Portanto a probabilidade procurada é
Passo 5
Como obter
. Explicação didática sobre a função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão.
- A função
é a CDF da normal padrão. - Em prova sem calculadora normalmente usa-se a tabela da normal padrão que dá
para valores de . - Também é útil saber a simetria:
. - O valor clássico e bem conhecido (tabelas ou memória) é
Se for necessário mais precisão,
, mas para provas costuma-se usar
.
Passo 6
Interpretação final e dica prática.
- Então
. - Dica prática para a prova: ao ver um problema com média e desvio, sempre padronize com
; se o resultado do for um número simples como , memorize os valores comuns de : , , , etc. Isso economiza tempo.