Uma variável aleatória X segue o modelo normal com média 100 e desvio padrão 5. Determine:
P(X<105)

Passo 1

O enunciado fornece uma variável aleatória X com distribuição normal e os seguintes dados:
  • média: \mu=100,
  • desvio padrão: \sigma=5.
O que é pedido:
  • Calcular \;P(X<105).

Passo 2

O que significa a informação dada e o que vamos usar.
  • A afirmação “ X segue o modelo normal com média \mu e desvio padrão \sigma” quer dizer que X tem densidade em forma de sino e que a sua localização central é \mu e a dispersão é medida por \sigma.
  • Para calcular probabilidades do tipo \;P(X<a) é comum transformar X em uma variável padrão, chamada Z, que tem média 0 e desvio 1. Isso facilita porque existe uma tabela (ou função) da distribuição normal padrão que dá valores de probabilidades acumuladas.

Passo 3

Apresentando a fórmula de padronização e explicando cada símbolo.
  • A padronização é feita com a fórmula
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui:
  • X é a variável original,
  • \mu é a média de X,
  • \sigma é o desvio padrão de X,
  • Z é a variável normal padrão com média 0 e desvio 1.
  • A consequência prática é que
P(X<105)=P\!\left(\frac{X-\mu}{\sigma}<\frac{105-\mu}{\sigma}\right)=P\!\left(Z<\frac{105-100}{5}\right).

Passo 4

Calcular o valor de z correspondente ao ponto 105.
\frac{105-100}{5}=\frac{5}{5}=1.
Portanto a probabilidade procurada é
P(X<105)=P(Z<1).

Passo 5

Como obter P(Z<1). Explicação didática sobre a função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão.
  • A função \Phi(z)=P(Z<z) é a CDF da normal padrão.
  • Em prova sem calculadora normalmente usa-se a tabela da normal padrão que dá \Phi(z) para valores de z.
  • Também é útil saber a simetria: \Phi(-z)=1-\Phi(z).
  • O valor clássico e bem conhecido (tabelas ou memória) é
\Phi(1)\approx 0,8413.
Se for necessário mais precisão, \Phi(1)=0,841344746\ldots, mas para provas costuma-se usar 0,8413.

Passo 6

Interpretação final e dica prática.
  • Então P(X<105)=\Phi(1)\approx 0,8413.
  • Dica prática para a prova: ao ver um problema com média e desvio, sempre padronize com Z=(X-\mu)/\sigma; se o resultado do z for um número simples como 1, memorize os valores comuns de \Phi: \Phi(0)=0,5, \Phi(1)\approx0,8413, \Phi(1,96)\approx0,975, etc. Isso economiza tempo.

Resposta

P(X<105)=0,8413

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