Uma variável aleatória X segue o modelo normal com média 100 e desvio padrão 5. Determine:
P(X>97)

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória X com distribuição normal de média 100 e desvio padrão 5. O que é pedido é o valor da probabilidade
P(X>97).
Informações relevantes fornecidas:
  • \mu=100 (média);
  • \sigma=5 (desvio padrão);
  • quer-se a probabilidade de X ser maior que 97.

Passo 2

Vamos lembrar uma ideia essencial (de forma bem direta): para trabalhar probabilidades com a normal é muito conveniente transformar a variável em uma normal padrão. A normal padrão é uma normal com média 0 e desvio padrão 1; sua função de distribuição acumulada é denotada por \Phi(z)=P(Z\le z), onde Z\sim N(0,1).

Passo 3

A transformação (padronização) que converte X\sim N(\mu,\sigma^2) em Z\sim N(0,1) é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui cada símbolo significa:
  • X é a variável original;
  • \mu é a média de X;
  • \sigma é o desvio padrão de X;
  • Z é a variável padronizada (normal padrão).

Passo 4

Aplicando a padronização ao nosso caso:
P(X>97)=P\!\left(\frac{X-100}{5}>\frac{97-100}{5}\right)=P\!\left(Z>-\frac{3}{5}\right).
Calculando a fração,
-\frac{3}{5}=-0,6,
logo precisamos de P(Z>-0,6).

Passo 5

Usamos a simetria da normal padrão. Sabendo que \Phi(z)=P(Z\le z) e que \Phi(-z)=1-\Phi(z), temos
P(Z>-0,6)=1-P(Z\le-0,6)=1-\Phi(-0,6)=\Phi(0,6).
Ou, dito de outro jeito, a probabilidade de Z ser maior que -0,6 é a mesma de Z ser menor que 0,6.

Passo 6

Agora consultamos uma tabela da normal padrão ou uma calculadora para \Phi(0,6). O valor tabelado (aproximado) é
\Phi(0,6)\approx0,7257.
Interpretação: há aproximadamente 72,57\% de chance de X ser maior que 97.

Resposta

P(X>97)=0,7257

Exercícios relacionados