Uma variável aleatória X segue o modelo normal com média 100 e desvio padrão 5. Determine:
P(105<X<112)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • Variável aleatória X com média \mu=100 e desvio padrão \sigma=5.
  • Pede-se calcular a probabilidade \;P(105<X<112).

Passo 2

Ideia principal (explicação didática): para calcular probabilidades envolvendo uma distribuição normal com média e desvio padrão dados, é conveniente transformar X numa variável padrão Z que tem média 0 e desvio 1. Definimos
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui cada símbolo significa:
  • X: variável original (a que tem média \mu e desvio \sigma).
  • \mu: média de X (aqui \mu=100).
  • \sigma: desvio padrão de X (aqui \sigma=5).
  • Z: variável padrão, com distribuição cuja função de distribuição acumulada chamamos de \Phi (ou seja, \Phi(z)=P(Z\le z)).
A razão de fazer isso é que tabelas e calculadoras dão valores para \Phi (a distribuição normal padrão), então transformamos qualquer probabilidade de X em uma probabilidade de Z.

Passo 3

Aplicando a padronização ao intervalo pedido:
P(105<X<112)=P\!\left(\frac{105-\mu}{\sigma}<Z<\frac{112-\mu}{\sigma}\right).
Substituindo \mu=100 e \sigma=5:
\frac{105-100}{5}=1,\qquad \frac{112-100}{5}=\frac{12}{5}=2,4.
Portanto
P(105<X<112)=P(1<Z<2,4)=\Phi(2,4)-\Phi(1).

Passo 4

Como obter \Phi(1) e \Phi(2,4): esses valores vêm de uma tabela da normal padrão ou de uma calculadora estatística. Usando a tabela padrão:
\Phi(1)=0,8413,\qquad \Phi(2,4)=0,9918.
(esses números são os valores tabulados da função de distribuição acumulada da normal padrão; há pequena variação dependendo da tabela, mas esses são os valores usuais.)

Passo 5

Calcular a diferença para obter a probabilidade:
P(105<X<112)=\Phi(2,4)-\Phi(1)=0,9918-0,8413=0,1505.
Interpretação rápida: há aproximadamente 15,05\% de chance de X cair entre 105 e 112.

Resposta

0,1505

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