Uma variável aleatória X segue o modelo normal com média 100 e desvio padrão 5. Determine:
P(89<X<93)

Passo 1

O enunciado nos dá claramente as seguintes informações:
  • A variável aleatória X segue uma distribuição normal com média \mu=100 e desvio padrão \sigma=5.
  • A pergunta é determinar a probabilidade P(89<X<93).

Passo 2

Conceito importante que vamos usar: para uma variável X com distribuição normal N(\mu,\sigma), padrãoizar nos permite transformar X numa variável normal padrão Z com média 0 e desvio padrão 1. A fórmula de padronização é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde:
  • \mu é a média de X,
  • \sigma é o desvio padrão de X,
  • Z tem distribuição N(0,1).
Isso é útil porque as probabilidades para Z são tabeladas (ou calculáveis com funções de calculadora/software).

Passo 3

Aplicando a padronização aos limites do intervalo pedido: calcule os escores z correspondentes a X=89 e X=93.
Para X=89:
z_1=\frac{89-100}{5}=\frac{-11}{5}=-2,2.
Para X=93:
z_2=\frac{93-100}{5}=\frac{-7}{5}=-1,4.

Passo 4

Reescrevendo a probabilidade em termos de Z:
P(89<X<93)=P\big(-2,2<Z<-1,4\big).

Passo 5

Usamos a propriedade das funções de distribuição acumulada da normal padrão. Se \Phi(t) é a função de distribuição acumulada de Z, então
P(a<Z<b)=\Phi(b)-\Phi(a).
Além disso, pela simetria da normal padrão vale
\Phi(-x)=1-\Phi(x).
Aplicando isso ao nosso caso com a=-2,2 e b=-1,4,
P\big(-2,2<Z<-1,4\big)=\Phi(-1,4)-\Phi(-2,2)=\big(1-\Phi(1,4)\big)-\big(1-\Phi(2,2)\big)=\Phi(2,2)-\Phi(1,4).

Passo 6

Agora precisamos dos valores da função \Phi em 1,4 e 2,2. Usando a tabela da normal padrão (ou uma calculadora que fornece \Phi), obtemos os valores aproximados:
\Phi(1,4)\approx0,9192,\qquad \Phi(2,2)\approx0,9861.
Portanto
P(89<X<93)=\Phi(2,2)-\Phi(1,4)\approx0,9861-0,9192=0,0669.

Passo 7

Interpretação final (rápida e motivadora): a probabilidade de X cair entre 89 e 93 é aproximadamente 0,0669, isto é, cerca de 6,69\%. Já dá pra ver que esse intervalo está bastante à esquerda da média 100, então a probabilidade ser pequena faz sentido.

Resposta

P(89<X<93)=0,0669

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