Uma variável aleatória X segue o modelo normal com média 100 e desvio padrão 5 . Determine os valores de x para que se tenha:
P(X<x)=0,32

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória X com distribuição normal de média e desvio padrão:
\text{média } \mu = 100,\qquad \text{desvio padrão } \sigma = 5.éã
Pede-se encontrar o valor de x tal que
P(X < x) = 0,32.
Informações relevantes listadas:
  • X\sim N(\mu,\sigma) com \mu=100 e \sigma=5.
  • Queremos o quantil da distribuição normal para probabilidade 0,32, ou seja o valor x que satisfaz P(X<x)=0,32.

Passo 2

Ideia principal e padrão de solução (sem cálculos ainda):
  • Para trabalhar com a normal usamos a padronização que transforma X numa normal padrão Z\sim N(0,1).
  • A padronização é a fórmula
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
ou invertendo,
X=\mu+\sigma Z.
  • Então encontrar x com P(X<x)=0,32 é equivalente a achar z tal que P(Z<z)=0,32 e depois transformar z de volta para x usando x=\mu+\sigma z.
  • Para achar z pode-se usar tabela da normal padrão (tabela de \Phi), calculadora estatística ou função inversa da normal. Vou mostrar o procedimento com tabela + interpolação (método manual usado em prova sem calculadora).

Passo 3

Padronização e relação com a função de distribuição padrão:
  • Aplicando a padronização, P(X<x)=0,32 vira
P\!\left(\frac{X-\mu}{\sigma}<\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=0,32,
ou seja
P(Z<z)=0,32\quad\text{com}\quad z=\frac{x-\mu}{\sigma}.
  • Precisamos então do quantil z da normal padrão tal que \Phi(z)=0,32, onde \Phi é a função de distribuição da normal padrão.

Passo 4

Uso da tabela da normal padrão (e simetria):
  • A tabela usual dá valores de \Phi(t)=P(Z<t) para t\ge0. Para valores negativos usamos a simetria
\Phi(-t)=1-\Phi(t).
  • Queremos \Phi(z)=0,32. Como 0,32<0,5, então z<0 (quantil negativo).
  • Procuro na tabela os valores de \Phi para t=0,46 e t=0,47 e uso a simetria:
\Phi(-0,46)=1-\Phi(0,46)=1-0,6772=0,3228,
\Phi(-0,47)=1-\Phi(0,47)=1-0,6808=0,3192.
  • Observação: peguei da tabela os valores \Phi(0,46)=0,6772 e \Phi(0,47)=0,6808. (Esses números são os que constam em tabelas padrão da normal.)

Passo 5

Interpolação linear para encontrar z com mais precisão:
  • Queremos z entre -0,47 e -0,46 porque 0,3192=\Phi(-0,47)<0,32<\Phi(-0,46)=0,3228.
  • Fazendo interpolação linear:
\text{fração}=\frac{0,32-0,3192}{0,3228-0,3192}=\frac{0,0008}{0,0036}\approx0,2222.çã
  • Assim
z\approx -0,47 + 0,2222\times 0,01 = -0,47 + 0,002222 \approx -0,4678.
  • Arredondando razoavelmente, podemos usar z\approx -0,4678 (ou z\approx-0,468).

Passo 6

Voltar para x usando a relação x=\mu+\sigma z:
  • Substituindo \mu=100, \sigma=5 e z\approx-0,4678:
x=100+5\cdot(-0,4678)=100-2,3389\approx97,6611.
  • Arredondando para duas casas decimais (comum em provas): x\approx97,66.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida:
  • Se calcularmos z=(97,66-100)/5=-2,34/5=-0,468 aproximadamente, então \Phi(-0,468)\approx0,3199, bem próximo de 0,32. Logo o valor está coerente.
  • Em prova: explique que foi usada padronização, tabela da normal padrão (com simetria) e interpolação linear para refinar o quantil.

Resposta

x\approx97,66

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