Uma variável aleatória
segue o modelo normal com média 100 e desvio padrão 5 . Determine os valores de
para que se tenha:
Passo 1
O enunciado dá uma variável aleatória
com distribuição normal de média e desvio padrão:
Pede-se encontrar o valor de
tal que
Informações relevantes listadas:
-
com e . - Queremos o quantil da distribuição normal para probabilidade
, ou seja o valor que satisfaz .
Passo 2
Ideia principal e padrão de solução (sem cálculos ainda):
- Para trabalhar com a normal usamos a padronização que transforma
numa normal padrão . - A padronização é a fórmula
ou invertendo,
- Então encontrar
com é equivalente a achar tal que e depois transformar de volta para usando . - Para achar
pode-se usar tabela da normal padrão (tabela de ), calculadora estatística ou função inversa da normal. Vou mostrar o procedimento com tabela + interpolação (método manual usado em prova sem calculadora).
Passo 3
Padronização e relação com a função de distribuição padrão:
- Aplicando a padronização,
vira
ou seja
- Precisamos então do quantil
da normal padrão tal que , onde é a função de distribuição da normal padrão.
Passo 4
Uso da tabela da normal padrão (e simetria):
- A tabela usual dá valores de
para . Para valores negativos usamos a simetria
- Queremos
. Como , então (quantil negativo). - Procuro na tabela os valores de
para e e uso a simetria:
- Observação: peguei da tabela os valores
e . (Esses números são os que constam em tabelas padrão da normal.)
Passo 5
Interpolação linear para encontrar
com mais precisão:
- Queremos
entre e porque . - Fazendo interpolação linear:
- Assim
- Arredondando razoavelmente, podemos usar
(ou ).
Passo 6
Voltar para
usando a relação
:
- Substituindo
, e :
- Arredondando para duas casas decimais (comum em provas):
.
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida:
- Se calcularmos
aproximadamente, então , bem próximo de . Logo o valor está coerente. - Em prova: explique que foi usada padronização, tabela da normal padrão (com simetria) e interpolação linear para refinar o quantil.