Uma variável aleatória
segue o modelo normal com média 0 e desvio padrão 1 . Determine os valores de
para que se tenha:
Passo 1
O enunciado dá uma variável aleatória
com distribuição normal de média
e desvio padrão
(ou seja,
). Pede-se encontrar os valores de
tais que
Em outras palavras, quer-se o quantil de ordem
da distribuição normal padrão: encontrar
tal que a função de distribuição acumulada da normal padrão avaliada em
seja
.
Passo 2
Vamos formalizar: denote por
a função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão, isto é,
A equação que precisamos resolver é
A solução
pode ser escrita como inversa da CDF:
ou seja, o quantil de probabilidade
. Na prática, calcula-se esse valor consultando uma tabela da normal padrão (tabela de
) ou usando uma calculadora/computador com a função inversa da normal.
Passo 3
Explicando como usar a tabela de
: a tabela dá valores de
para
(e, por simetria, valores negativos também). Procura-se na tabela o valor mais próximo de
e lê-se o correspondente
. Como exemplo de valores da tabela:
Observa-se que
está entre esses dois valores de tabela, logo
está entre
e
.
Passo 4
Fazemos uma interpolação linear simples entre os pontos
e
para obter uma aproximação de
. A fração do intervalo que precisamos é
Logo o
aproximado é
Passo 5
Comentário didático: a interpolação linear é uma aproximação muito usada quando a tabela dá valores espaçados (a função
é suave), e para fins de prova ou cálculos manuais essa precisão (três casas decimais) costuma ser suficiente. Se tiver calculadora/computador, pode-se usar diretamente
para obter o mesmo resultado com maior precisão.
Passo 6
Verificação rápida:
usando tabelas/softwares dá aproximadamente
, confirmando que a aproximação está coerente.