Uma variável aleatória X segue o modelo normal com média 0 e desvio padrão 1 . Determine os valores de x para que se tenha:
P(X<x)=0,68

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória X com distribuição normal de média 0 e desvio padrão 1 (ou seja, X\sim N(0,1)). Pede-se encontrar os valores de x tais que
P(X<x)=0,68.
Em outras palavras, quer-se o quantil de ordem 0,68 da distribuição normal padrão: encontrar x tal que a função de distribuição acumulada da normal padrão avaliada em x seja 0,68.

Passo 2

Vamos formalizar: denote por \Phi(t) a função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão, isto é,
\Phi(t)=P(X\le t)=\int_{-\infty}^{t}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-u^{2}/2}\,du.
A equação que precisamos resolver é
\Phi(x)=0,68.
A solução x pode ser escrita como inversa da CDF:
x=\Phi^{-1}(0,68),
ou seja, o quantil de probabilidade 0,68. Na prática, calcula-se esse valor consultando uma tabela da normal padrão (tabela de \Phi) ou usando uma calculadora/computador com a função inversa da normal.

Passo 3

Explicando como usar a tabela de \Phi: a tabela dá valores de \Phi(z) para z\ge0 (e, por simetria, valores negativos também). Procura-se na tabela o valor mais próximo de 0,68 e lê-se o correspondente z. Como exemplo de valores da tabela:
\Phi(0,46)=0,6772,\qquad \Phi(0,47)=0,6808.
Observa-se que 0,68 está entre esses dois valores de tabela, logo x está entre 0,46 e 0,47.

Passo 4

Fazemos uma interpolação linear simples entre os pontos (0,46,\,0,6772) e (0,47,\,0,6808) para obter uma aproximação de x. A fração do intervalo que precisamos é
\frac{0,68-0,6772}{0,6808-0,6772}=\frac{0,0028}{0,0036}\approx0,777\ldots
Logo o z aproximado é
x\approx 0,46+0,01\cdot0,777\approx0,46+0,00777\approx0,46777\approx0,468.

Passo 5

Comentário didático: a interpolação linear é uma aproximação muito usada quando a tabela dá valores espaçados (a função \Phi é suave), e para fins de prova ou cálculos manuais essa precisão (três casas decimais) costuma ser suficiente. Se tiver calculadora/computador, pode-se usar diretamente x=\Phi^{-1}(0,68) para obter o mesmo resultado com maior precisão.

Passo 6

Verificação rápida: \Phi(0,468) usando tabelas/softwares dá aproximadamente 0,68, confirmando que a aproximação está coerente.

Resposta

x\approx0,468

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